Признак Вейерштрасса
Пусть для каждого \(y\in Y\) функция \(x\mapsto f(x,y)\) интегрируема по Риману на любом \([a,b]\). Если существует неотрицательная функция \(g(x)\), не зависящая от \(y\), такая что \(|f(x,y)|\le g(x)\) для всех \(x\ge a\) и \(y\in Y\), а числовой несобственный интеграл \(\int _{a}^{\infty }g(x)dx\) сходится, то \(\int _{a}^{\infty }f(x,y)dx\) сходится равномерно по \(y\) на \(Y\).1
Доказательство непосредственно следует из оценки хвоста \(|\int _{b}^{\infty }f(x,y)dx|\le \int _{b}^{\infty }g(x)dx\). Правая часть не зависит от \(y\) и стремится к нулю.
Признак Дирихле
Пусть \(f\) и \(g\) заданы на \([a,+\infty )\times Y\). Предположим, что для некоторого \(C\gt 0\)
\[|\int _{a}^{b} f(x,y)dx|\le C\]
для всех \(b\gt a\) и \(y\in Y\). Пусть при каждом \(y\) функция \(x\mapsto g(x,y)\) монотонна и \(g(x,y)\to 0\) при \(x\to +\infty \) равномерно по \(y\). Тогда интеграл \(\int _{a}^{\infty }f(x,y)g(x,y)dx\) сходится равномерно на \(Y\).1
По второй теореме о среднем хвост произведения оценивается через значения \(g\) на его концах и интегралы от \(f\). Равномерное стремление \(g\) к нулю даёт критерий Коши.
Признак Абеля
Пусть \(\int _{a}^{\infty }f(x,y)dx\) сходится равномерно на \(Y\). Если \(x\mapsto g(x,y)\) монотонна для каждого \(y\) и существует \(C\gt 0\) такое, что \(|g(x,y)|\le C\) для всех \(x\ge a\) и \(y\in Y\), то \(\int _{a}^{\infty }f(x,y)g(x,y)dx\) сходится равномерно.1
Здесь равномерная сходимость первого интеграла уже даёт малость его далёких хвостов. Вторая теорема о среднем переносит эту малость на произведение.