Пусть для каждого \(y\in Y\) функция \(x\mapsto f(x,y)\) интегрируема по Риману на каждом \([a,b], b\gt a\), и сходится несобственный интеграл \(F(y)=\int _{a}^{\infty }f(x,y)dx\). Он сходится равномерно на \(Y\), если \(F_{b}(y)=\int _{a}^{b} f(x,y)dx\) сходятся к \(F(y)\) равномерно при
Критерий Коши требует, чтобы для любого \(\varepsilon \gt 0\) существовало одно \(M\), для которого при любых \(b_{1},b_{2}\gt M\) и всех \(y\in Y\) выполняется По критерию Гейне равномерная сходимость эквивалентна тому, что для каждой последовательности \(b_{n}\to \infty \) функции \(F_{b_{n}}\) сходятся к \(F\) равномерно на
Что важно запомнить
- Для каждого параметра \(f(\cdot ,y)\) должна быть интегрируема по Риману на любом конечном отрезке \([a,b]\).
- Равномерность относится к множеству параметров \(Y\), а граница \(b\) стремится к \(+\infty \).
- Критерий Коши требует одно \(M\), подходящее сразу для всех \(y\).
- В критерии Гейне рассматривают каждую последовательность \(b_{n}\to +\infty \).
- При поточечной сходимости равномерность эквивалентна равномерному стремлению хвоста \(\int _{b}^{\infty }f(x,y)dx\) к нулю.
Определение равномерной сходимости
Пусть для каждого \(y\in Y\) функция \(x\mapsto f(x,y)\) интегрируема по Риману на \([a,b]\) для любого \(b\gt a\). Предположим также, что при каждом \(y\) сходится
\[F(y)=\int _{a}^{\infty }f(x,y)dx\].
Обозначим усечённый интеграл
\[F_{b}(y)=\int _{a}^{b} f(x,y)dx\].
Несобственный интеграл сходится равномерно на \(Y\), если
\(\sup _{y\in Y}|F_{b}(y)-F(y)|\to 0\) при
При уже установленной поточечной сходимости это равносильно условию
Критерий Коши
Интеграл сходится равномерно на \(Y\) тогда и только тогда, когда для любого \(\varepsilon \gt 0\) существует \(M\) такое, что для любых \(b_{1},b_{2}\gt M\) и всех \(y\in Y\)
Число \(M\) должно зависеть только от \(\varepsilon \). Выбирать его отдельно для разных значений параметра нельзя.
Критерий Гейне
К усечённым интегралам \(F_{b}(y)\) применяется критерий Гейне для равномерной сходимости семейства функций. Интеграл сходится равномерно к \(F\) на \(Y\) тогда и только тогда, когда для каждой последовательности \(b_{n}\gt a, b_{n}\to +\infty \), последовательность функций
\[F_{b_{n}}(y)=\int _{a}^{b_{n}}f(x,y)dx\]
сходится к \(F(y)\) равномерно на
Критерий Коши позволяет проверять равномерность непосредственно по интегралам на далёких отрезках. Критерий Гейне заменяет предельный переход \(b\to +\infty \) проверкой всех последовательностей, стремящихся к \(+\infty \).
Пример простыми словами
Для \(F(y)=\int _{0}^{\infty }e^{-xy}dx\) и \(y\ge \delta \gt 0\) хвост равен \(\int _{b}^{\infty }e^{-xy}dx=\frac{e^{-by}}{y}\le \frac{e^{-b\delta }}{\delta} \to 0\). Поэтому интеграл сходится равномерно на \([\delta ,+\infty )\). На \((0,+\infty )\) равномерной сходимости нет, поскольку для каждого \(b\gt 0\) величина \(\frac{e^{-by}}{y}\) не ограничена при \(y\to 0+\).
Частые ошибки
- В критерии Коши позволять \(M\) зависеть от \(y\). Это даёт только поточечную сходимость.
- Проверять в критерии Гейне одну удобную последовательность \(b_{n}\) вместо всех последовательностей, стремящихся к бесконечности.
- Путать равномерную сходимость несобственного интеграла с равномерной сходимостью подынтегральной функции.
