Если \(f\) непрерывна на прямоугольнике \([a,b]\times [c,d]\), то функция \(F(y)=\int _{a}^{b} f(x,y)dx\) непрерывна, а значит интегрируема по Риману на \([c,d]\). Более того, повторные интегралы можно
Что важно запомнить
- Непрерывность \(f\) на прямоугольнике гарантирует существование обоих повторных собственных интегралов.
- Интеграл \(F(y)=\int _{a}^{b} f(x,y)dx\) является непрерывной функцией параметра.
- Поэтому \(F\) интегрируема на \([c,d]\).
- Для непрерывной \(f\) порядок интегрирования по прямоугольнику можно менять.
Интегрируемость функции параметра
Пусть \(f\in C([a,b]\times [c,d])\) и
\[F(y)=\int _{a}^{b} f(x,y)dx\].
По теореме о непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра, функция \(F\) непрерывна на \([c,d]\). Следовательно, она интегрируема по Риману на этом
Изменение порядка интегрирования
Для непрерывной на прямоугольнике функции выполняется равенство
Это форма теоремы Фубини для непрерывной функции на прямоугольнике. В курсе её можно вывести средствами интегралов с параметром. Рассматривают обе части как функции переменного верхнего предела и показывают, что их производные совпадают, а начальные значения одинаковы.
Условие непрерывности здесь существенно как простое достаточное условие. Оно гарантирует интегрируемость всех сечений и обеих функций, получаемых после первого интегрирования.
Пример простыми словами
Для \(f(x,y)=xy\) на \([0,1]^{2}\) имеем \(\int _{0}^{1}[\int _{0}^{1}xy dx]dy=\frac{1}{4}\). При обратном порядке сначала интегрируют по \(y\) и получают тот же результат \(\frac{1}{4}\).
Частые ошибки
- Менять порядок интегрирования без проверки условий теоремы.
- Доказывать интегрируемость \(F(y)\) только существованием каждого внутреннего интеграла. Нужен контроль зависимости от \(y\).
- Путать собственный повторный интеграл на прямоугольнике с более сложными случаями несобственных интегралов.
