Дифференцирование интеграла по параметру. Формула Лейбница

Пусть \(f(x,y)\) и частная производная \(f_{y}'(x,y)\) непрерывны на прямоугольнике, а пределы \(\varphi (y), \psi (y)\) дифференцируемы. Тогда интеграл \(F(y)=\int _{\varphi (y)}^{\psi (y)}f(x,y)dx\) дифференцируем и выполняется формула Лейбница.1

\[F'(y)=\psi '(y)f(\psi (y),y)-\varphi '(y)f(\varphi (y),y)+\int _{\varphi (y)}^{\psi (y)} f_{y}'(x,y)dx\].1

Что важно запомнить
  • Производная содержит три вклада: изменение верхнего предела, изменение нижнего предела и изменение самой подынтегральной функции.
  • У нижнего предела стоит знак минус.
  • Для фиксированных пределов остаётся только интеграл от частной производной по параметру.
  • Непрерывность \(f\) и \(f_{y}'\) обеспечивает законность дифференцирования под знаком собственного интеграла.

Дифференцирование интеграла по параметру

Пусть \(f\) и её частная производная по параметру \(f_{y}'\) непрерывны на прямоугольнике \([a,b]\times [c,d]\). Рассмотрим

\[F(y)=\int _{\varphi (y)}^{\psi (y)}f(x,y)dx\],

где \(\varphi \) и \(\psi \) дифференцируемы, а их значения лежат в \([a,b]\). Тогда \(F\) дифференцируема.1

Формула Лейбница

Производная равна

\[F'(y)=\psi '(y)f(\psi (y),y)-\varphi '(y)f(\varphi (y),y)+\int _{\varphi (y)}^{\psi (y)}f_{y}'(x,y)dx\].1

Первое слагаемое возникает из движения верхнего предела. Второе связано с движением нижнего предела и поэтому имеет знак минус. Третье учитывает изменение подынтегральной функции при изменении параметра.

Если пределы интегрирования постоянны, \(\varphi (y)=a\) и \(\psi (y)=b\), формула упрощается:

\[\frac{d}{dy} \int _{a}^{b} f(x,y)dx=\int _{a}^{b} f_{y}'(x,y)dx\].

В доказательстве сначала рассматривают функцию \(\Phi (y,u,v)=\int _{u}^{v} f(x,y)dx\) как функцию трёх переменных. Её частные производные по \(y, u\) и \(v\) вычисляются отдельно, после чего применяется правило дифференцирования композиции \(\Phi (y,\varphi (y),\psi (y))\).

Пример простыми словами

Для \(F(y)=\int _{0}^{y} e^{xy}dx\) формула Лейбница даёт \(F'(y)=e^{y^{2}}+\int _{0}^{y} x e^{xy}dx\). Первое слагаемое связано с движением верхнего предела, а второе с зависимостью подынтегральной функции от \(y\).

Частые ошибки
  • Забывать слагаемые от переменных пределов интегрирования.
  • Ставить перед вкладом нижнего предела знак плюс.
  • Заменять полную производную \(F'(y)\) только интегралом от \(f_{y}'\), когда пределы зависят от \(y\).

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бадерко Е. А. Лекции по математическому анализу, III семестр Механико-математический факультет МГУ, 2 курс, 3 семестр. Гл. 3, §1, п. 1.3: теорема 7 и следствие «Формула Лейбница»