Семейство \(f(x,y)\) равномерно сходится к \(g(x)\) на \(X\) при \(y\to y_{0}\), если
Если \(X=[a,b]\), для каждого \(y\) функция \(f(\cdot ,y)\) интегрируема по Риману и \(f(x,y)\to g(x)\) равномерно при \(y\to y_{0}\), то \(g\) также интегрируема и предел можно перенести под знак интеграла:
Что важно запомнить
- Равномерность означает один контроль ошибки для всех \(x\in X\).
- Поточечная сходимость сама по себе не даёт общего правила переноса предела под знак интеграла.
- На конечном отрезке равномерная сходимость сохраняет интегрируемость предельной функции.
- Разность интегралов оценивается через супремум разности функций.
Равномерная сходимость семейства
Пусть \(y_{0}\) является предельной точкой множества параметров \(Y\). Говорят, что \(f(x,y)\) равномерно стремится к \(g(x)\) на \(X\) при \(y\to y_{0}\), если
\[\sup _{x\in X}|f(x,y)-g(x)|\to 0\].
Эквивалентно, для любого \(\varepsilon \gt 0\) существует окрестность параметра \(y_{0}\) такая, что \(|f(x,y)-g(x)|\lt \varepsilon \) одновременно для всех
Предельный переход под знаком собственного интеграла
Пусть для каждого \(y\in Y\) функция \(x\mapsto f(x,y)\) интегрируема по Риману на \([a,b]\) и при \(y\to y_{0}\) она равномерно сходится к \(g\) на этом отрезке. Тогда \(g\) интегрируема по Риману и
Ключевая оценка имеет вид
\[|\int _{a}^{b} f(x,y)dx-\int _{a}^{b} g(x)dx|\le (b-a) \sup _{x\in [a,b]}|f(x,y)-g(x)|\].
Правая часть стремится к нулю по определению равномерной сходимости.
Критерий Гейне позволяет проверить равномерную сходимость семейства последовательностями параметров. Она имеет место тогда и только тогда, когда для всякой последовательности \(y_{n}\to y_{0}, y_{n}\ne y_{0}\), функции \(f(x,y_{n})\) сходятся к \(g(x)\) равномерно на
Пример простыми словами
Если \(f(x,y)=x^{y}\) на \([0,1]\) и \(y\to 1\), то непрерывность функции \((x,y)\) на компактном прямоугольнике параметров около \(y=1\) даёт равномерную сходимость к \(x\). Поэтому \(\lim _{y\to 1}\int _{0}^{1}x^{y} dx=\int _{0}^{1}x dx=\frac{1}{2}\).
Частые ошибки
- Проверять сходимость только при каждом фиксированном \(x\) и сразу переносить предел под интеграл.
- Забывать, что стандартная теорема сформулирована для собственного интеграла по конечному отрезку.
- При \(y\to y_{0}\) выбирать окрестность параметра отдельно для разных \(x\). Равномерная сходимость требует одной окрестности, которая работает одновременно для всех \(x\in X\).
