Пусть \(f(x,y)\) непрерывна на прямоугольнике \([a,b]\times [c,d]\). Тогда функция \(\Phi (y,u,v)=\int _{u}^{v} f(x,y)dx\) непрерывна одновременно по параметру \(y\) и по обоим пределам интегрирования
В частности, если \(\varphi (y)\) и \(\psi (y)\) непрерывны и принимают значения в \([a,b]\), то \(F(y)=\int _{\varphi (y)}^{\psi (y)}f(x,y)dx\) является непрерывной функцией
Что важно запомнить
- Непрерывность подынтегральной функции рассматривается на компактном прямоугольнике.
- Изменяться могут одновременно параметр и оба предела интегрирования.
- Для переменных пределов \(\varphi (y)\) и \(\psi (y)\) требуется их непрерывность.
- Ключевой механизм доказательства состоит в равномерной непрерывности \(f\) и ограниченности \(f\) на компакте.
Непрерывность по параметру и пределам
Пусть \(f\in C([a,b]\times [c,d])\). Для \(y\in [c,d]\) и \(u,v\in [a,b]\) определим
\[\Phi (y,u,v)=\int _{u}^{v} f(x,y)dx\].
Тогда \(\Phi \) является непрерывной функцией трёх переменных
Идея доказательства состоит в разбиении изменения интеграла на три части. При переходе от \((y,u,v)\) к \((y+\Delta y,u+\Delta u,v+\Delta v)\) отдельно оценивают вклад изменения верхнего предела, нижнего предела и параметра. Поскольку \(f\) непрерывна на компакте, она ограничена некоторой константой \(M\) и равномерно непрерывна. Поэтому получается оценка вида
\[|\Delta \Phi |\le M|\Delta u|+M|\Delta v|+(b-a) \sup _{x\in [a,b]}|f(x,y+\Delta y)-f(x,y)|\].
Все три слагаемых стремятся к нулю вместе с изменением аргументов.
Переменные пределы как функции параметра
Если \(\varphi ,\psi \in C([c,d])\) и \(\varphi (y),\psi (y)\in [a,b]\), то
\[F(y)=\int _{\varphi (y)}^{\psi (y)} f(x,y)dx\]
непрерывна на
Это следует из уже доказанной непрерывности \(\Phi \) и представления \(F(y)=\Phi (y,\varphi (y),\psi (y))\). Таким образом, непрерывность сохраняется при одновременном изменении параметра и обоих пределов интегрирования.
Пример простыми словами
Если \(f(x,y)=x+y, \varphi (y)=0\) и \(\psi (y)=y\) на \([0,1]\), то \(F(y)=\int _{0}^{y}(x+y)dx=\frac{3y^{2}}{2}\). Полученная функция непрерывна, как и предсказывает общая теорема.
Частые ошибки
- Доказывать непрерывность только по параметру и забывать, что пределы интегрирования тоже меняются.
- Не проверять, что переменные пределы остаются внутри отрезка, где задана \(f\).
- Заменять совместную непрерывность \(f\) отдельной поточечной непрерывностью по параметру без единой оценки по \(x\). В теореме нужный равномерный контроль следует из непрерывности \(f\) на компактном прямоугольнике.
