Экспонента, косинус и синус
Для любого \(x\in \mathbb{R}\) справедливы разложения
\[e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{x^{n}}{n!}\],
\[\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n} x^{2n}}{(2n)!}\],
\[\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n} x^{2n+1}}{(2n+1)!}\].1
Радиус сходимости каждого из этих рядов равен \(+\infty \).
Логарифм
Для \(-1\lt x\le 1\)
\[\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}\].1
На интервале \(|x|\lt 1\) формулу получают почленным интегрированием геометрического ряда \(\frac{1}{(1+x)}=\sum (-1)^{n} x^{n}\). В точке \(x=1\) равенство продолжается по второй теореме Абеля и даёт \(\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{n}\). Точка \(x=-1\) не входит в область определения \(\ln (1+x)\).
Биномиальный ряд
Положим \(\binom{\alpha}{0}=1\) и при \(n\ge 1\)
\[\binom{\alpha}{n}=\alpha (\alpha -1)\ldots \frac{(\alpha -n+1)}{n!}\].
Если \(\alpha \) не является неотрицательным целым числом, то для \(|x|\lt 1\)
\[(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty } \binom{\alpha}{n}x^{n}\].1
Если \(\alpha =m\in \mathbb{Z}\) и \(m\ge 0\), коэффициенты после \(n=m\) равны нулю. Получается конечный биномиальный многочлен
\[(1+x)^{m}=\sum _{n=0}^{m} \binom{m}{n}x^{n}\],
и это равенство справедливо для любого вещественного \(x\).1