Единственность разложения функции в степенной ряд и ряд Тейлора

Если функция представлена степенным рядом в некоторой окрестности точки \(x_{0}\), то такое разложение единственно. Его коэффициенты обязаны иметь вид \(a_{n}=\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}\).1

Поэтому единственно возможный степенной ряд для \(f\) около \(x_{0}\) есть её ряд Тейлора \(\sum _{n=0}^{\infty } \frac{f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}}{n!}\). Однако существование всех производных ещё не означает, что функция равна сумме своего ряда Тейлора. Для этого остаток формулы Тейлора должен стремиться к нулю.1

Что важно запомнить
  • Коэффициенты степенного разложения определяются производными функции в центре.
  • При \(x_{0}=0\) ряд Тейлора называют рядом Маклорена.
  • Бесконечная дифференцируемость необходима для такого разложения, но сама по себе недостаточна.
  • Функция равна своему ряду Тейлора там, где остаток частичных сумм стремится к нулю.

Единственность степенного разложения

Пусть в некоторой окрестности точки \(x_{0}\) выполнено

\[f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\].

Внутри радиуса степенной ряд можно дифференцировать почленно. Подставляя \(x=x_{0}\) после \(k\) дифференцирований, получаем

\[f^{(k)}(x_{0})=k!a_{k}\].

Следовательно,

\[a_{k}=\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}\].1

Это доказывает единственность. Если степенное разложение существует, никаких других коэффициентов у него быть не может.

Ряд Тейлора

Для функции \(f\in C\infty \) в окрестности \(x_{0}\) ряд

\[\sum _{n=0}^{\infty } \frac{f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}}{n!}\]

называют рядом Тейлора. При \(x_{0}=0\) это ряд Маклорена.1

Важно различать ряд Тейлора и разложение функции в этот ряд. Ряд можно записать по производным функции, но равенство функции его сумме требует дополнительного условия. Для рассматриваемой точки \(x\) должно выполняться

\(r_{k}(x)=f(x)-\sum _{n=0}^{k} \frac{f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}}{n!}\to 0\) при \(k\to \infty \).1

Функция называется аналитической в точке \(x_{0}\), если в некоторой окрестности \(x_{0}\) она представляется сходящимся степенным рядом по степеням \(x-x_{0}\).1

Пример простыми словами

Классический контрпример к ошибке «\(C\infty \) значит аналитическая» задаётся функцией \(f(x)=e^{-\frac{1}{x^{2}}}\) при \(x\ne 0\) и \(f(0)=0\). Все её производные в нуле равны нулю, поэтому ряд Маклорена тождественно равен нулю, хотя сама функция положительна при \(x\ne 0\).

Частые ошибки
  • Считать, что любая бесконечно дифференцируемая функция автоматически равна своему ряду Тейлора.
  • Искать произвольные коэффициенты разложения после того, как известны производные в центре.
  • Путать ряд Тейлора с конечной формулой Тейлора.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бадерко Е. А. Лекции по математическому анализу, III семестр Механико-математический факультет МГУ, 2 курс, 3 семестр. Гл. 2, §4, п. 4.1: теорема 1, определение ряда Тейлора, теорема 4