Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов

Внутри интервала сходимости степенной ряд можно дифференцировать и интегрировать почленно. Производный и интегрированный ряды имеют тот же радиус сходимости \(R\).1

Если \(f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\) при \(|x-x_{0}|\lt R\), то \(f'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n a_{n}(x-x_{0})^{n-1}\). Также \(\int _{x_{0}}^{x} f(t)dt=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{a_{n}(x-x_{0})^{n+1}}{(n+1)}\).1

Что важно запомнить
  • Производный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости.
  • Интегрированный степенной ряд также имеет тот же радиус сходимости.
  • Почленные операции выполняются для \(|x-x_{0}|\lt R\).
  • Сумма степенного ряда бесконечно дифференцируема внутри интервала сходимости.

Почленное дифференцирование

Пусть

\[f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\]

и радиус сходимости равен \(R\gt 0\). Производный ряд

\[\sum _{n=1}^{\infty }n a_{n}(x-x_{0})^{n-1}\]

имеет тот же радиус \(R\). Поэтому при \(|x-x_{0}|\lt R\)

\[f'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n a_{n}(x-x_{0})^{n-1}\].1

На каждом меньшем замкнутом отрезке \(|x-x_{0}|\le r\lt R\) исходный ряд и ряд производных сходятся равномерно. Это позволяет применить теорему о дифференцировании функциональных последовательностей к частичным суммам.

Операцию можно повторять. Поэтому сумма степенного ряда принадлежит \(C\infty \) внутри интервала сходимости.

Почленное интегрирование

Интегрированный ряд также имеет радиус \(R\). Для \(|x-x_{0}|\lt R\)

\[\int _{x_{0}}^{x} f(t)dt=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{a_{n}(x-x_{0})^{n+1}}{(n+1)}\].1

Формула получается из равномерной сходимости исходного ряда на отрезке между \(x_{0}\) и выбранной точкой \(x\) и теоремы о переходе к пределу под знаком собственного интеграла.

Таким образом, внутри радиуса степенные ряды ведут себя особенно хорошо. Их можно многократно дифференцировать и интегрировать так же, как многочлены, не меняя радиуса сходимости.

Пример простыми словами

Из геометрического ряда \(\frac{1}{(1-x)}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\) при \(|x|\lt 1\) почленным интегрированием получают \(-\ln (1-x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n}\). Почленным дифференцированием получают \(\frac{1}{(1-x)^{2}}=\sum _{n=1}^{\infty }n x^{n-1}\).

Частые ошибки
  • Выполнять почленное дифференцирование за пределами радиуса сходимости.
  • Считать, что после дифференцирования радиус обязательно уменьшается.
  • Забывать коэффициент \(\frac{1}{(n+1)}\) при интегрировании и множитель \(n\) при дифференцировании.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бадерко Е. А. Лекции по математическому анализу, III семестр Механико-математический факультет МГУ, 2 курс, 3 семестр. Гл. 2, §3, п. 3.4: лемма 17, теоремы 18–19