Равномерная сходимость внутри радиуса
Пусть \(\sum a_{n}(x-x_{0})^{n}\) имеет радиус сходимости \(R\gt 0\). Для любого \(r, 0\lt r\lt R\), ряд сходится равномерно на отрезке \(|x-x_{0}|\le r\).1
Действительно, числовой ряд \(\sum |a_{n}|r^{n}\) сходится. На выбранном отрезке \(|a_{n}(x-x_{0})^{n}|\le |a_{n}|r^{n}\), поэтому применяется признак Вейерштрасса.
Вторая теорема Абеля
Рассмотрим для простоты центр \(x_{0}=0\). Если радиус равен \(R\gt 0\) и ряд \(\sum a_{n}R^{n}\) сходится, то функция
\[S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\]
непрерывна на полуинтервале \((-R,R]\). В частности, \(\lim _{x\to R-}S(x)=\sum a_{n}R^{n}\).1
Если ряд сходится при \(x=-R\), аналогичное утверждение получается для \([-R,R)\). Если он сходится на обеих границах, то ряд сходится равномерно на всём отрезке \([-R,R]\).1
Сумма и произведение степенных рядов
Пусть \(A(x)=\sum a_{n}x^{n}\) и \(B(x)=\sum b_{n}x^{n}\) имеют радиусы \(R_{1}\) и \(R_{2}\). Тогда их сумма задаётся рядом
\[A(x)+B(x)=\sum (a_{n}+b_{n})x^{n}\].
Произведение задаётся произведением Коши
\(A(x)B(x)=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}x^{n}\), где \(d_{n}=\sum _{k=0}^{n} a_{k}b_{n-k}\).
Оба равенства верны как обычные равенства функций при \(|x|\lt \min (R_{1},R_{2})\), где исходные ряды сходятся абсолютно. Радиусы рядов суммы и произведения не меньше \(\min (R_{1},R_{2})\).1