Степенные ряды: радиус и интервал сходимости. Первая теорема Абеля

Степенной ряд с центром \(x_{0}\) имеет вид \(\sum _{n=0}^{\infty } a_{n}(x-x_{0})^{n}\). Первая теорема Абеля утверждает, что если ряд сходится в точке \(x_{1}\ne x_{0}\), то он сходится абсолютно при \(|x-x_{0}|\lt |x_{1}-x_{0}|\).1

Отсюда возникает радиус сходимости \(R\in [0,+\infty ]\). При \(|x-x_{0}|\lt R\) ряд сходится абсолютно, при \(|x-x_{0}|\gt R\) расходится, а точки \(x=x_{0}\pm R\) исследуются отдельно. Интервал \((x_{0}-R,x_{0}+R)\) называется интервалом сходимости.1

Что важно запомнить
  • Степенной ряд всегда сходится в своём центре \(x_{0}\).
  • Сходимость в одной ненулевой относительно центра точке даёт абсолютную сходимость во всех более близких точках.
  • Радиус \(R\) отделяет область абсолютной сходимости от области расходимости.
  • Поведение в граничных точках \(x_{0}-R\) и \(x_{0}+R\) нельзя определить только по радиусу.

Степенной ряд и первая теорема Абеля

Степенным рядом с центром \(x_{0}\) называют ряд

\[\sum _{n=0}^{\infty } a_{n}(x-x_{0})^{n}\].

В точке \(x=x_{0}\) он всегда сходится и имеет сумму \(a_{0}\). После замены \(y=x-x_{0}\) достаточно исследовать ряд \(\sum a_{n} y^{n}\).

Первая теорема Абеля. Если ряд \(\sum a_{n} y^{n}\) сходится при \(y=y_{1}\ne 0\), то он сходится абсолютно при \(|y|\lt |y_{1}|\).1

Из сходимости \(\sum a_{n} y_{1}^{n}\) следует ограниченность последовательности \(a_{n} y_{1}^{n}\). Поэтому для \(|y|\lt |y_{1}|\) выполняется оценка \(|a_{n} y^{n}|\le C(\frac{|y|}{|y_{1}|})^{n}\). Справа стоит член сходящегося геометрического ряда.

Радиус и интервал сходимости

Для каждого степенного ряда существует единственное число \(R\in [0,+\infty ]\) со следующим свойством. При \(|x-x_{0}|\lt R\) ряд сходится абсолютно, а при \(|x-x_{0}|\gt R\) расходится. Число \(R\) называют радиусом сходимости, а \((x_{0}-R,x_{0}+R)\) называют интервалом сходимости.1

Если \(R=0\), ряд сходится только в центре. Если \(R=+\infty \), он сходится абсолютно при любом \(x\). При \(0\lt R\lt +\infty \) точки \(x=x_{0}-R\) и \(x=x_{0}+R\) исследуют отдельно.

Общая формула Коши—Адамара имеет вид \(R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}\), с обычными соглашениями для нуля и бесконечности. Если начиная с некоторого номера отношения определены и существует предел \(\lim _{n\to \infty }|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}|\), то этот предел также равен \(R\).1

Пример простыми словами

Для ряда \(\sum _{n=1}^{\infty } \frac{x^{n}}{n}\) радиус равен \(1\). При \(|x|\lt 1\) ряд сходится абсолютно. В точке \(x=1\) получается гармонический ряд и он расходится, а при \(x=-1\) получается знакочередующийся гармонический ряд и он сходится. Поэтому границы всегда проверяют отдельно.

Частые ошибки
  • Включать обе граничные точки в интервал сходимости автоматически.
  • Считать, что первая теорема Абеля гарантирует сходимость в точках с тем же модулем, что и исходная точка.
  • Путать абсолютную сходимость внутри радиуса со сходимостью на границе.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бадерко Е. А. Лекции по математическому анализу, III семестр Механико-математический факультет МГУ, 2 курс, 3 семестр. Гл. 2, §3, п. 3.1: первая теорема Абеля, радиус и интервал сходимости