Теорема Шаудера о неподвижной точке является бесконечномерным аналогом теоремы Брауэра. Пусть \(C\) — непустое замкнутое ограниченное выпуклое подмножество банахова пространства \(X\), а \(T:C\to C\) непрерывно и \(T(C)\) относительно компактно. Тогда существует \(x\in C\) такое, что Другая стандартная форма: всякое непрерывное отображение непустого компактного выпуклого множества в себя имеет неподвижную точку. Теорема гарантирует существование, но не единственность неподвижной
Что важно запомнить
- Область \(C\) должна быть непустой, выпуклой, замкнутой и ограниченной в банаховом пространстве.
- Отображение \(T:C\to C\) непрерывно, а его образ \(T(C)\) относительно компактен.
- Вывод: существует хотя бы одна неподвижная точка \(x=T(x)\).
- Теорема не утверждает единственность и не требует, чтобы \(T\) было сжимающим отображением.
Формулировка теоремы Шаудера
Пусть \(X\) — банахово пространство, \(C\subset X\) — непустое замкнутое ограниченное выпуклое множество, а \(T:C\to C\) — непрерывное отображение, для которого \(T(C)\) относительно компактно. Тогда существует точка \(x\in C\) такая, что
В этой формулировке \(T\) называют вполне непрерывным, или компактным, отображением. Для нелинейного отображения здесь существенны оба свойства: непрерывность и относительная компактность образа \(C\).
Другая стандартная компактная форма
Если \(K\) является непустым компактным выпуклым подмножеством банахова пространства и \(T:K\to K\) непрерывно, то \(T\) имеет неподвижную
Компактностное условие играет здесь роль, отличную от условия сжатия в принципе Банаха. Теорема Шаудера даёт существование неподвижной точки, но из её условий не следуют единственность или сходимость итераций \(x_{n+1}=T(x_{n})\).
В соответствии с формулировкой текущего экзаменационного вопроса доказательство теоремы не требуется.
Частые ошибки
- Приписывать теореме Шаудера единственность неподвижной точки.
- Требовать коэффициент сжатия меньше единицы. Это условие относится к принципу сжимающих отображений, а не к теореме Шаудера.
- Забывать выпуклость множества или условие \(T(C)\subset C\).
