Равностепенная непрерывность
Пусть \(K\) — компактное метрическое пространство и \(F\subset C(K)\). Семейство \(F\) называется равностепенно непрерывным, если для любого \(\varepsilon \gt 0\) существует \(\delta \gt 0\) такое, что для всех \(f\in F\) и всех \(x,y\in K\) из \(d(x,y)\lt \delta \) следует
\[|f(x)-f(y)|\lt \varepsilon \].
В отличие от обычной непрерывности одной функции, \(\delta \) здесь выбирается одновременно для всего семейства.
Теорема Арцела—Асколи
Для семейства \(F\subset C(K)\) замыкание \(F\) компактно в супремум-норме тогда и только тогда, когда \(F\) равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.1
Равномерная ограниченность означает существование \(M\) такого, что \(|f(x)|\le M\) для всех \(f\in F\) и \(x\in K\).
Идея доказательства
Необходимость следует из компактности замыкания. Компактное множество в \(C(K)\) ограничено. Кроме того, его можно покрыть конечным числом малых шаров в супремум-норме. Непрерывность конечного набора центров этих шаров даёт единое \(\delta \) и тем самым равностепенную непрерывность.
Для достаточности фиксируют \(\varepsilon \gt 0\) и выбирают конечную \(\delta \)-сеть \(\{x_{1},\ldots ,x_{m}\}\) в \(K\). Благодаря равностепенной непрерывности функция из \(F\) с точностью порядка \(\varepsilon \) определяется своими значениями в этих конечных точках. Равномерная ограниченность позволяет разбить возможные значения \(f(x_{i})\) на конечное число ячеек. В результате строится конечная \(\varepsilon \)-сеть уже для \(F\) в \(C(K)\). Значит, \(F\) вполне ограничено. Пространство \(C(K)\) полно, поэтому по критерию Хаусдорфа замыкание \(F\) компактно.1
Если \(F\) само замкнуто, то \(F\) совпадает со своим замыканием и является компактным.