Критерий компактности Хаусдорфа

Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено. Вполне ограниченность означает, что для любого \(\varepsilon \gt 0\) существует конечная \(\varepsilon \)-сеть, то есть конечное число точек, \(\varepsilon \)-шары вокруг которых покрывают всё пространство.¹

Для подмножества \(M\) полного метрического пространства эквивалентная форма такова: замыкание \(M\) компактно тогда и только тогда, когда \(M\) вполне ограничено. Это и есть критерий компактности Хаусдорфа в форме через конечные \(\varepsilon \)-сети.¹

Что важно запомнить

Конечная \(\varepsilon \)-сеть должна существовать для каждого \(\varepsilon \gt 0\).
Компактность метрического пространства эквивалентна полноте и вполне ограниченности.
Обычная ограниченность слабее вполне ограниченности.
В полном объемлющем пространстве вполне ограниченное множество имеет компактное замыкание.

Конечная \(\varepsilon \)-сеть и вполне ограниченность

Пусть \((X,d)\) — метрическое пространство. Конечное множество \(\{x_{1},\ldots ,x_{m}\}\) называют \(\varepsilon \)-сетью для \(X\), если для каждой точки \(x\in X\) найдётся \(x_{i}\) такое, что \(d(x,x_{i})\lt \varepsilon \). Иными словами, \(X\) покрывается конечным числом \(\varepsilon \)-шаров.

Пространство называется вполне ограниченным, если конечная \(\varepsilon \)-сеть существует для каждого \(\varepsilon \gt 0\).

Критерий компактности Хаусдорфа

Метрическое пространство \(X\) компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.¹

Необходимость вполне ограниченности следует из компактности. Шары радиуса \(\varepsilon \) образуют открытое покрытие \(X\), из которого можно выбрать конечное подпокрытие. Компактное метрическое пространство также полно.

Для обратного направления возьмём произвольную последовательность \(\{x_{n}\}\). Из конечной \(1\)-сети можно выбрать шар, содержащий бесконечно много её членов. Из этих членов с помощью конечной \(\frac{1}{2}\)-сети выбирают бесконечную подпоследовательность, лежащую в одном шаре радиуса \(\frac{1}{2}\). Продолжая с радиусами \(\frac{1}{4}, \frac{1}{8}\) и далее, диагонально получают фундаментальную подпоследовательность. Полнота даёт её предел в \(X\). Значит, всякая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность, а в метрическом пространстве это эквивалентно компактности.¹

Форма для подмножеств

Если \(X\) полно и \(M\subset X\), то \(M\) относительно компактно, то есть замыкание \(M\) компактно, тогда и только тогда, когда \(M\) вполне ограничено. Если \(M\) дополнительно замкнуто, то оно само компактно.

Пример простыми словами

Бесконечное множество с дискретной метрикой \(d(x,y)=1\) при \(x\ne y\) ограничено и полно, но не компактно. При \(\varepsilon \lt \frac{1}{2}\) каждый \(\varepsilon \)-шар содержит только одну точку, поэтому конечной \(\varepsilon \)-сети нет. Это показывает, почему обычной ограниченности недостаточно.

Частые ошибки

Заменять вполне ограниченность обычной ограниченностью.
Считать полноту без конечных \(\varepsilon \)-сетей достаточной для компактности.
Для подмножества полного пространства забывать замыкание: вполне ограниченность гарантирует компактность замыкания, а само множество компактно лишь при замкнутости.

Другие вопросы

Источники

1 Rudin W. Functional Analysis 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 1991. Appendix A4