Пусть \(K\) — компактное метрическое пространство. \(C(K)\) состоит из всех непрерывных вещественных или комплексных функций на \(K\). Каждая такая функция ограничена, поэтому корректно определена супремум-норма
С этой нормой \(C(K)\) является банаховым пространством. Если \(\{f_{n}\}\) фундаментальна в \(\lVert \cdot \rVert _{\infty} \), то она равномерно сходится к некоторой функции \(f\). Равномерный предел непрерывных функций непрерывен, следовательно
Что важно запомнить
- Компактность \(K\) гарантирует ограниченность каждой \(f\in C(K)\) и достижение максимума \(|f|\).
- Норма в \(C(K)\) задаётся формулой \(\lVert f\rVert _{\infty} =\max _{K}|f|\).
- Сходимость в этой норме равносильна равномерной сходимости.
- \(C(K)\) полно, поэтому является банаховым пространством.
Определение пространства \(C(K)\)
Пусть \(K\) является компактным метрическим пространством. Обозначим через \(C(K)\) множество всех непрерывных функций \(f:K\to \mathbb{R}\) или \(f:K\to \mathbb{C}\). Непрерывная функция на компакте ограничена и достигает максимума модуля, поэтому
\[\lVert f\rVert _{\infty} =\max _{x\in K}|f(x)|\]
является корректно определённой нормой. Сходимость \(\lVert f_{n}-f\rVert _{\infty} \to 0\) означает в точности равномерную сходимость на
Полнота
Пусть \(\{f_{n}\}\) является фундаментальной последовательностью в \(C(K)\). Тогда для любого \(\varepsilon \gt 0\) существует \(N\) такое, что при \(n,m\ge N\)
\[\sup _{x\in K}|f_{n}(x)-f_{m}(x)|\lt \varepsilon \].
Для каждого фиксированного \(x\) последовательность чисел \(f_{n}(x)\) фундаментальна. Обозначим её предел через \(f(x)\). Переходя в последнем неравенстве к пределу по \(m\), получаем
\[\sup _{x\in K}|f_{n}(x)-f(x)|\le \varepsilon \]
для \(n\ge N\). Значит, \(f_{n}\to f\) равномерно. Равномерный предел непрерывных функций непрерывен, поэтому
Итак, всякая фундаментальная последовательность в \(C(K)\) имеет предел в \(C(K)\). Следовательно, \(C(K)\) с супремум-нормой является банаховым пространством.
Пример простыми словами
При \(K=[0,1]\) пространство \(C[0,1]\) — стандартный пример \(C(K)\). Последовательность непрерывных функций, фундаментальная по максимальному отклонению на всём отрезке, обязательно имеет непрерывный равномерный предел.
Частые ошибки
- Считать \(C(K)\) полным относительно любой нормы. Здесь утверждение относится к супремум-норме.
- Доказывать полноту только поточечной сходимостью. Нужна равномерная оценка фундаментальности.
- Забывать роль компактности в том, что непрерывные функции на \(K\) ограничены.
