Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов

Если функции \(u_{n}\) интегрируемы по Риману на \([a,b]\) и ряд \(\sum u_{n}(x)\) сходится равномерно к \(S(x)\), то \(S\) интегрируема и ряд можно интегрировать почленно: \(\int S=\sum \int u_{n}\).¹

Для почленного дифференцирования нужны более сильные условия. Если \(u_{n}\in C^{1}[a,b]\), ряд производных \(\sum u_{n}'\) сходится равномерно, а исходный ряд \(\sum u_{n}(x_{0})\) сходится хотя бы в одной точке \(x_{0}\), то \(\sum u_{n}\) сходится равномерно к дифференцируемой функции \(S\) и \(S'=\sum u_{n}'\).¹

Что важно запомнить

Равномерная сходимость исходного ряда достаточна для почленного интегрирования на конечном отрезке.
Для дифференцирования контролируют ряд производных, а не только исходный ряд.
В теореме о дифференцировании достаточно сходимости исходного ряда в одной точке и равномерной сходимости ряда производных.
Доказательства сводятся к теоремам для последовательности частичных сумм.

Почленное интегрирование

Пусть \(u_{n}\) интегрируемы по Риману на \([a,b]\) и

\[\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}(x)=S(x)\]

равномерно на \([a,b]\). Тогда \(S\) интегрируема по Риману и

\[\int _{a}^{b} S(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{a}^{b} u_{n}(x)dx\].¹

Действительно, частичные суммы \(S_{N}=\sum _{n=1}^{N} u_{n}\) равномерно сходятся к \(S\). Для каждой \(S_{N}\) интеграл равен сумме интегралов, а теорема о переходе к пределу под знаком интеграла даёт нужное равенство.

Почленное дифференцирование

Пусть \(u_{n}\in C^{1}[a,b]\). Предположим, что ряд

\[\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}'(x)\]

сходится равномерно на \([a,b]\), а для некоторого \(x_{0}\in [a,b]\) сходится числовой ряд \(\sum u_{n}(x_{0})\). Тогда исходный функциональный ряд сходится равномерно на \([a,b]\) к функции \(S\in C^{1}[a,b]\) и

\[S'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}'(x)\].¹

Применим теорему о производных к частичным суммам \(S_{N}\). Их производные равны \(S_{N}'=\sum _{n=1}^{N} u_{n}'\). Равномерная сходимость \(S_{N}'\) и сходимость \(S_{N}(x_{0})\) дают равномерную сходимость \(S_{N}\) и возможность перейти к пределу в производной.

Таким образом, условия интегрирования и дифференцирования принципиально различаются. Для интеграла достаточно равномерной сходимости самого ряда, а для производной требуется контроль ряда производных.

Частые ошибки

Дифференцировать равномерно сходящийся ряд только из факта его равномерной сходимости.
При почленном дифференцировании не проверять сходимость ряда в одной фиксированной точке.
При почленном интегрировании забывать, что интегрируемость членов и конечность отрезка входят в стандартную формулировку.

Другие вопросы

Источники

1 Шапошников С. В. Краткий конспект лекций по математическому анализу Механико-математический факультет МГУ, 2 курс, осенний семестр. Разд. 9, теоремы 9.2–9.3