Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости функциональных рядов

Равномерный признак Дирихле применяется к ряду \(\sum a_{n}(x)b_{n}(x)\), когда \(a_{n}(x)\) монотонна по \(n\) и равномерно стремится к нулю, а частичные суммы \(B_{N}(x)=\sum _{k=1}^{N} b_{k}(x)\) равномерно ограничены. Тогда ряд сходится равномерно.1

Равномерный признак Абеля требует, чтобы \(a_{n}(x)\) была монотонной по \(n\) и равномерно ограниченной, а ряд \(\sum b_{n}(x)\) сходился равномерно. При этих условиях \(\sum a_{n}(x)b_{n}(x)\) также сходится равномерно.1

Что важно запомнить
  • Дирихле: \(a_{n}\to 0\) равномерно, а частичные суммы \(b_{n}\) равномерно ограничены.
  • Абель: \(a_{n}\) равномерно ограничены, а ряд \(\sum b_{n}\) сходится равномерно.
  • В обоих признаках монотонность относится к последовательности \(a_{n}(x)\) по номеру \(n\).
  • Основной технический инструмент доказательства — преобразование Абеля.

Равномерный признак Дирихле

Пусть \(a_{n}\) и \(b_{n}\) определены на \(X\). Для каждого \(x\) последовательность \(a_{n}(x)\) монотонна по \(n\) и \(a_{n}\to 0\) равномерно на \(X\). Обозначим

\[B_{N}(x)=\sum _{k=1}^{N} b_{k}(x)\].

Если существует \(C\) такое, что \(|B_{N}(x)|\le C\) для всех \(N\) и \(x\), то ряд

\[\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(x)b_{n}(x)\]

сходится равномерно на \(X\).1

Равномерный признак Абеля

Пусть \(a_{n}(x)\) монотонна по \(n\) при каждом \(x\) и семейство \(\{a_{n}\}\) равномерно ограничено:

\[\sup _{n,x}|a_{n}(x)|\lt \infty \].

Если ряд \(\sum b_{n}(x)\) сходится равномерно на \(X\), то ряд \(\sum a_{n}(x)b_{n}(x)\) также сходится равномерно.1

Почему работает преобразование Абеля

Для конечной суммы используется дискретное интегрирование по частям. Если \(B_{k}=\sum _{j=1}^{k} b_{j}\), то произведение \(a_{k}b_{k}\) заменяется выражениями с \(B_{k}\) и разностями \(a_{k+1}-a_{k}\). У монотонной последовательности сумма модулей этих разностей контролируется её общим изменением.

В случае Дирихле \(B_{k}\) равномерно ограничены, а \(a_{k}\) и её хвостовые вариации равномерно малы. В случае Абеля равномерная сходимость \(\sum b_{n}\) означает, что \(B_{k}\) равномерно приближаются к своей сумме, а множители \(a_{k}\) остаются равномерно ограниченными. Эти оценки дают равномерный критерий Коши.1

Частые ошибки
  • В признаке Дирихле требовать сходимость ряда \(\sum b_{n}\). Достаточна равномерная ограниченность его частичных сумм.
  • В признаке Абеля заменять равномерную сходимость \(\sum b_{n}\) поточечной.
  • Путать признаки Абеля и Дирихле для функциональных рядов с методом суммирования Абеля.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Шапошников С. В. Краткий конспект лекций по математическому анализу Механико-математический факультет МГУ, 2 курс, осенний семестр. Разд. 8, теорема 8.4 и следствие 8.1