Пусть \(a_{n}(x)\ge 0\) на \(X\), для каждого \(x\) последовательность \(a_{n}(x)\) невозрастает по \(n\) и \(a_{n}\to 0\) равномерно на \(X\). Тогда знакочередующийся функциональный ряд \(\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}(x)\) сходится равномерно на
Равномерная версия сохраняет классическую оценку остатка: если \(R_{N}(x)\) — хвост после \(N\) членов, то \(|R_{N}(x)|\le a_{N+1}(x)\), поэтому
Что важно запомнить
- \(a_{n}(x)\) должны быть неотрицательны и невозрастать по \(n\) при каждом \(x\).
- Ключевое усиление числового признака: \(a_{n}\to 0\) именно равномерно по \(x\).
- Остаток оценивается первым отброшенным членом.
- Поточечного стремления \(a_{n}(x)\to 0\) для равномерной сходимости недостаточно.
Формулировка
Пусть \(a_{n}:X\to [0,+\infty )\). Предположим, что для каждого \(x\in X\)
\[a_{n+1}(x)\le a_{n}(x)\]
и одновременно
\[\sup _{x\in X}a_{n}(x)\to 0\].
Тогда ряд
\[\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}(x)\]
сходится равномерно на
Оценка остатка
Для каждого фиксированного \(x\) действует обычная теорема Лейбница. Если \(S(x)\) является суммой ряда, а \(S_{N}(x)\) его \(N\)-й частичной суммой, то
\[|S(x)-S_{N}(x)|\le a_{N+1}(x)\].
Следовательно,
\[\lVert S-S_{N}\rVert _{\infty} \le \sup _{x\in X}a_{N+1}(x)\to 0\].
Это и есть равномерная
Признак можно также рассматривать как частный случай равномерного признака Дирихле. У последовательности частичных сумм знаков \((-1)^{n-1}\) есть единая ограниченность, а множитель \(a_{n}\) равномерно стремится к нулю.
Пример простыми словами
На \(X=[0,q], 0\le q\lt 1\), ряд \(x-x^{2}+x^{3}-\ldots \) сходится равномерно. Здесь \(a_{n}(x)=x^{n}\), последовательность убывает по \(n\) и \(\sup _{X} a_{n}=q^{n}\to 0\). На \([0,1]\) условие равномерного стремления к нулю нарушается.
Частые ошибки
- Заменять равномерное условие \(\sup _{X} a_{n}\to 0\) только поточечным \(a_{n}(x)\to 0\).
- Проверять монотонность \(a_{n}\) по переменной \(x\) вместо монотонности по номеру \(n\).
- Забывать, что оценка остатка содержит первый отброшенный член \(a_{N+1}\).
