Функциональный ряд \(\sum f_{n}(x)\) сходится поточечно, если для каждого фиксированного \(x\) сходится числовой ряд \(\sum f_{n}(x)\). Он сходится равномерно на \(X\), если его частичные суммы \(S_{N}(x)\) сходятся равномерно к сумме
Критерий Коши требует равномерной малости любого достаточно далёкого хвоста. Признак Вейерштрасса даёт удобное достаточное условие: если \(|f_{n}(x)|\le M_{n}\) для всех \(x\in X\) и сходится числовой ряд \(\sum M_{n}\), то \(\sum f_{n}(x)\) сходится на \(X\)
Что важно запомнить
- Равномерная сходимость ряда означает равномерную сходимость последовательности его частичных сумм.
- Необходимое условие: \(f_{n}\to 0\) равномерно.
- Критерий Коши контролирует все хвосты \(\sum _{k=m+1}^{n} f_{k}\) одновременно по \(x\).
- В признаке Вейерштрасса мажоранты \(M_{n}\) не зависят от \(x\) и образуют сходящийся числовой ряд.
Поточечная и равномерная сходимость
Для ряда \(\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)\) обозначим
\[S_{N}(x)=\sum _{n=1}^{N} f_{n}(x)\].
Поточечная сходимость означает, что для каждого фиксированного \(x\) последовательность \(S_{N}(x)\) имеет предел. Равномерная сходимость означает существование функции \(S\), для которой
Из равномерной сходимости следует необходимое условие \(f_{n}\to 0\) равномерно. Оно не является достаточным.
Критерий Коши
Ряд сходится равномерно на \(X\) тогда и только тогда, когда для любого \(\varepsilon \gt 0\) существует \(N\) такое, что при \(n\gt m\ge N\)
Критерий особенно полезен тем, что предельную функцию \(S\) знать заранее не требуется.
Признак Вейерштрасса
Пусть существуют числа \(M_{n}\ge 0\) такие, что
\[|f_{n}(x)|\le M_{n}\]
для всех \(x\in X\) и всех \(n\). Если числовой ряд \(\sum M_{n}\) сходится, то функциональный ряд \(\sum f_{n}(x)\) сходится равномерно на
Доказательство непосредственно следует из критерия Коши:
\[\sup _{x\in X}|\sum _{k=m+1}^{n} f_{k}(x)|\le \sum _{k=m+1}^{n} M_{k}\].
Правая часть является хвостом сходящегося числового ряда и стремится к нулю независимо от \(x\).
Пример простыми словами
На отрезке \([0,q]\), где \(0\lt q\lt 1\), ряд \(\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\) сходится равномерно. Действительно, \(|x^{n}|\le q^{n}\), а геометрический ряд \(\sum q^{n}\) сходится. На \([0,1)\) такая же мажоранта с одним \(q\lt 1\) уже не работает на всём множестве.
Частые ошибки
- Проверять равномерную сходимость только для каждого фиксированного \(x\). Это проверяет лишь поточечную сходимость.
- Считать условие \(f_{n}\to 0\) равномерно достаточным для сходимости ряда.
- В признаке Вейерштрасса использовать мажоранту \(M_{n}\), которая зависит от \(x\).
