Равномерная сходимость позволяет переходить к пределу под знаком собственного интеграла. Если интегрируемые по Риману функции \(f_{n}\) на \([a,b]\) равномерно сходятся к \(f\), то \(f\) интегрируема и
Для производных одной равномерной сходимости \(f_{n}\) недостаточно. Стандартная теорема требует равномерной сходимости производных и фиксации значения хотя бы в одной точке. Если \(f_{n}\in C^{1}[a,b], f_{n}'\to g\) равномерно и \(f_{n}(x_{0})\) сходится, то \(f_{n}\) равномерно сходится к некоторой \(f\in C^{1}[a,b]\) и
Что важно запомнить
- Интеграл совместим с равномерным пределом на конечном отрезке.
- Оценка ошибки интеграла: \(|\int (f_{n}-f)|\le (b-a)\lVert f_{n}-f\rVert _{\infty} \).
- Равномерная сходимость функций сама по себе не позволяет переходить к пределу в производных.
- Для дифференцирования достаточно равномерной сходимости \(f_{n}'\) и сходимости \(f_{n}(x_{0})\) в одной точке.
Переход к пределу под знаком интеграла
Пусть \(f_{n}\) интегрируемы по Риману на \([a,b]\) и \(f_{n}\to f\) равномерно. Тогда \(f\) также интегрируема по Риману и
Интегрируемость предела можно доказать через суммы Римана или критерий Дарбу. Равномерная близость \(f_{n}\) и \(f\) переносит на \(f\) требуемые оценки. После этого разность интегралов оценивается так:
\[|\int _{a}^{b} f_{n}-\int _{a}^{b} f|\le \int _{a}^{b}|f_{n}-f|\le (b-a)\lVert f_{n}-f\rVert _{\infty} \to 0\].
Переход к пределу в производных
Здесь направление рассуждения другое. Пусть \(f_{n}\in C^{1}[a,b]\), производные \(f_{n}'\) равномерно сходятся на \([a,b]\) к функции \(g\), а в некоторой точке \(x_{0}\in [a,b]\) числовая последовательность \(f_{n}(x_{0})\) сходится к \(c\). Тогда существует \(f\in C^{1}[a,b]\) такая, что
\(f_{n}\to f\) равномерно,
Действительно, по формуле Ньютона—Лейбница
\[f_{n}(x)=f_{n}(x_{0})+\int _{x_{0}}^{x} f_{n}'(t)dt\].
После перехода к пределу получаем
\[f(x)=c+\int _{x_{0}}^{x} g(t)dt\].
Равномерность следует из оценки
\[\lVert f_{n}-f\rVert _{\infty} \le |f_{n}(x_{0})-c|+(b-a)\lVert f_{n}'-g\rVert _{\infty} \to 0\].
Если заранее известно, что \(f_{n}\to f\) равномерно и \(f_{n}'\to g\) равномерно, условие в одной точке уже выполнено автоматически и снова получается \(f'=g\).
Пример простыми словами
Функции \(f_{n}(x)=\frac{\sin (nx)}{n}\) на \([0,1]\) равномерно сходятся к нулю, поскольку \(|f_{n}(x)|\le \frac{1}{n}\). Но \(f_{n}'(x)=\cos (nx)\) не сходятся равномерно. Этот пример показывает, почему из одной равномерной сходимости функций нельзя делать вывод о сходимости их производных.
Частые ошибки
- Дифференцировать равномерный предел без дополнительных условий на производные.
- Забывать условие сходимости значений \(f_{n}(x_{0})\), если сходимость самих \(f_{n}\) заранее не известна.
- Для интегрирования требовать равномерной сходимости производных. Она к теореме о переходе под знаком интеграла не относится.
