Критерий Маркова—Гордона
Пусть \(B\) и \(D\) — базы в множествах \(X\) и \(Y\). Рассмотрим функцию \(h:X\times Y\to \mathbb{R}\) или \(\mathbb{C}\). Предположим, что для каждого \(x\in X\) и каждого \(y\in Y\) существуют внутренние пределы \(f(x)=\lim _{D} h(x,y)\) и \(g(y)=\lim _{B} h(x,y)\).
Критерий Маркова—Гордона утверждает, что повторные пределы \(\lim _{B} f(x)\) и \(\lim _{D} g(y)\) существуют и равны тогда и только тогда, когда для любого \(\varepsilon \gt 0\) существует \(B_{\varepsilon }\in B\) такое, что для каждого \(x\in B_{\varepsilon }\) можно выбрать \(D_{x}\in D\), для которого \(|h(x,y)-g(y)|\lt \varepsilon \) при всех \(y\in D_{x}\).1
Множество \(D_{x}\) разрешено выбирать в зависимости от \(x\). Поэтому критерий не требует одного общего \(D\) для всех \(x\) и является более общим, чем обычное условие равномерной сходимости.
Перестановка пределов при равномерной сходимости
Пусть \(a\) — предельная точка множества \(X, f_{n}\to f\) равномерно на \(X\) и для каждого \(n\) существует \(b_{n}=\lim _{x\to a}f_{n}(x)\). Тогда \(b_{n}\) имеет конечный предел и \(\lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)=\lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{x\to a}f(x)\).2
Идея доказательства основана на равномерном критерии Коши. Для больших \(n\) и \(m\) величина \(|f_{n}(x)-f_{m}(x)|\) мала одновременно для всех \(x\). После перехода \(x\to a\) получаем критерий Коши для \(b_{n}\). Затем равенство пределов следует из оценки \(|f(x)-b|\le |f(x)-f_{n}(x)|+|f_{n}(x)-b_{n}|+|b_{n}-b|\).