Линейные операции и произведения
Если \(f_{n}\to f\) и \(g_{n}\to g\) равномерно на \(X\), то для любых чисел \(\alpha \) и \(\beta \)
\[\alpha f_{n}+\beta g_{n}\to \alpha f+\beta g\]
равномерно. Это непосредственно следует из неравенства треугольника.
Для произведения требуется контроль роста. Например, если \(f_{n}\) и \(g_{n}\) равномерно сходятся и обе последовательности равномерно ограничены на \(X\), то \(f_{n}g_{n}\to fg\) равномерно. Без ограниченности такое утверждение на произвольном \(X\) неверно.
Непрерывность равномерного предела
Пусть \(f_{n}\to f\) равномерно на \(X\) и все \(f_{n}\) непрерывны в точке \(x_{0}\in X\). Зафиксируем \(\varepsilon \gt 0\). Выберем \(N\) так, что
\[|f_{N}(x)-f(x)|\lt \frac{\varepsilon}{3}\]
для всех \(x\in X\). По непрерывности \(f_{N}\) в \(x_{0}\) существует окрестность \(x_{0}\), в которой \(|f_{N}(x)-f_{N}(x_{0})|\lt \frac{\varepsilon}{3}\). Тогда
\[|f(x)-f(x_{0})|\le |f(x)-f_{N}(x)|+|f_{N}(x)-f_{N}(x_{0})|+|f_{N}(x_{0})-f(x_{0})|\lt \varepsilon \].
Следовательно, \(f\) непрерывна в \(x_{0}\). В частности, равномерный предел функций из \(C[a,b]\) снова принадлежит \(C[a,b]\).1
Перестановка предельных переходов
Пусть \(a\) является предельной точкой \(X\), для каждого \(n\) существует \(A_{n}=\lim _{x\to a}f_{n}(x)\), а \(f_{n}\to f\) равномерно на \(X\). Тогда последовательность \(A_{n}\) имеет конечный предел \(A\) и
\[\lim _{x\to a}f(x)=A=\lim _{n\to \infty }A_{n}\].
Иначе говоря, при этих условиях можно поменять порядок пределов. Непрерывность предельной функции является важным частным случаем, когда \(A_{n}=f_{n}(x_{0})\).1