Пусть \(f_{n}\in C[a,b], f\in C[a,b], f_{n}(x)\to f(x)\) для каждого \(x\in [a,b]\), и для каждого фиксированного \(x\) последовательность \(f_{n}(x)\) монотонна по \(n\). Тогда \(f_{n}\to f\) равномерно на \([a,b]\). Это теорема
Что важно запомнить
- Отрезок \([a,b]\) компактен, и компактность является ключевым условием доказательства.
- Все \(f_{n}\) и предельная функция \(f\) должны быть непрерывны.
- Монотонность относится к номеру \(n\) при каждом фиксированном \(x\), а не к переменной \(x\).
- Без компактности области или непрерывности предела поточечная монотонная сходимость в общем случае не обязана быть равномерной.
Формулировка
Пусть \(f_{n}\in C[a,b]\) для всех \(n\), функции \(f_{n}\) поточечно сходятся на \([a,b]\) к \(f\in C[a,b]\), и для каждого фиксированного \(x\in [a,b]\) последовательность \(f_{n}(x)\) монотонна по \(n\). Тогда \(f_{n}\) сходится к \(f\) равномерно на
Доказательство
Пусть, например, \(f_{n}(x)\uparrow f(x)\). Зафиксируем \(\varepsilon \gt 0\) и положим
\[U_{n}=\{x\in [a,b]: f(x)-f_{n}(x)\lt \varepsilon \}\].
Функция \(f-f_{n}\) непрерывна, поэтому \(U_{n}\) открыто в \([a,b]\). Из монотонности следует \(U_{n}\subset U_{n+1}\). Поточечная сходимость даёт \(\bigcup_{n}U_{n}=[a,b]\).
Отрезок \([a,b]\) компактен, поэтому из этого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие \(U_{n_{1}},\ldots ,U_{n_{r}}\). Множества вложены, значит при \(N=\max (n_{1},\ldots ,n_{r})\) уже \(U_{N}=[a,b]\). Поэтому для всех \(n\ge N\) и всех \(x\in [a,b]\) выполняется \(0\le f(x)-f_{n}(x)\lt \varepsilon \). Это и есть равномерная сходимость. Случай \(f_{n}(x)\downarrow f(x)\) разбирается аналогично.
Пример простыми словами
На отрезке \([0,a]\) при \(0\lt a\lt 1\) функции \(f_{n}(x)=x^{n}\) непрерывны и монотонно убывают по \(n\) к нулю. По Дини сходимость равномерна. Действительно, \(\sup _{[0,a]}x^{n}=a^{n}\to 0\).
Частые ошибки
- Путать монотонность последовательности \(f_{n}\) по номеру \(n\) с монотонностью каждой функции по \(x\).
- Применять Дини, не проверив непрерывность предельной функции.
- Убирать компактность. На некомпактном множестве утверждение в общем случае неверно.
