Топология поточечной сходимости
Обозначим через \(B[0,1]\) множество всех ограниченных функций \(f:[0,1]\to \mathbb{R}\). Поточечная сходимость \(f_{n}\to f\) означает \(f_{n}(x)\to f(x)\) для каждого \(x\in [0,1]\).1
Эта сходимость задаётся подпространственной топологией произведения \(\mathbb{R}^{[0,1]}\). Базисное окружение нулевой функции имеет вид
\[V(F,\varepsilon)=\{f\in B[0,1]: |f(x_i)|\lt\varepsilon_i\text{ для }i=1,\ldots,m\}\],
где \(F=\{x_{1},\ldots ,x_{m}\}\) — конечное множество точек. Для несчётных произведений отсутствие счётной локальной базы является стандартным препятствием к метризуемости.2
Почему метрики быть не может
Предположим, что поточечная топология на \(B[0,1]\) задаётся некоторой метрикой. Тогда в нулевой функции существует счётная локальная база \(U_{1},U_{2},\ldots \). Для каждого \(U_{n}\) выберем базисное поточечное окружение \(V_{n}\subset U_{n}\), определяемое конечным набором координат \(F_{n}\). Семейство \(\{V_{n}\}\) также остаётся локальной базой.
Множество \(F=\bigcup_{n=1}^{\infty }F_{n}\) счётно, тогда как \([0,1]\) несчётен. Выберем \(x_{0}\in [0,1]\setminus F\) и рассмотрим окружение
\[W=\{f\in B[0,1]: |f(x_{0})|\lt 1\}\].
Так как \(\{V_{n}\}\) является локальной базой, для некоторого \(n\) должно выполняться \(V_{n}\subset W\). Но \(V_{n}\) не ограничивает значение функции в \(x_{0}\). Функция \(g\), равная \(2\) в точке \(x_{0}\) и \(0\) во всех остальных точках, ограничена, принадлежит \(V_{n}\) и не принадлежит \(W\). Получено противоречие. Следовательно, поточечная топология на \(B[0,1]\) не метризуема.
Сравнение с равномерной сходимостью
На \(B[0,1]\) метрика \(d_{\infty }(f,g)=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|\) корректно определена и задаёт равномерную сходимость. Эта топология строго сильнее поточечной.