Для последовательности функций \(f_{n}:X\to \mathbb{R}\) поточечная сходимость \(f_{n}\to f\) означает, что при каждом фиксированном \(x\) числовая последовательность \(f_{n}(x)\) стремится к \(f(x)\). При равномерной сходимости один номер \(N\) должен подходить одновременно для всех \(x\). Для любого \(\varepsilon \gt 0\) существует \(N\), после которого \(|f_{n}(x)-f(x)|\lt \varepsilon \) при всех \(x\in X\). Равномерная сходимость эквивалентна условию \(\sup _{x\in X}|f_{n}(x)-f(x)|\to 0\), когда супремум конечен. Критерий Коши требует равномерной малости
Что важно запомнить
- При поточечной сходимости номер \(N\) может зависеть от точки \(x\).
- При равномерной сходимости \(N\) зависит только от \(\varepsilon \) и работает на всём множестве \(X\).
- Равномерная сходимость всегда влечёт поточечную, но обратное утверждение неверно.
- Критерий Коши позволяет проверять равномерную сходимость без знания предельной функции.
Поточечная сходимость
Последовательность функций \(f_{n}:X\to \mathbb{R}\) сходится поточечно к \(f\), если
\[\forall x\in X \forall \varepsilon \gt 0 \exists N=N(x,\varepsilon ) \forall n\ge N: |f_{n}(x)-f(x)|\lt \varepsilon \].
То есть в каждой фиксированной точке рассматривается обычная числовая последовательность
Равномерная сходимость
Последовательность \(f_{n}\) сходится равномерно к \(f\) на \(X\), если
\[\forall \varepsilon \gt 0 \exists N=N(\varepsilon ) \forall n\ge N \forall x\in X: |f_{n}(x)-f(x)|\lt \varepsilon \].
Ключевое отличие состоит в порядке кванторов: один и тот же \(N\) должен работать для всех \(x\). Если функции \(f_{n}-f\) ограничены, это равносильно
Критерий Коши
Последовательность действительных функций сходится равномерно на \(X\) тогда и только тогда, когда
\[\forall \varepsilon \gt 0 \exists N \forall n,m\ge N \forall x\in X: |f_{n}(x)-f_{m}(x)|\lt \varepsilon \].
Необходимость следует из неравенства треугольника. Для достаточности при каждом \(x\) критерий Коши даёт предел \(f(x)\), после чего в исходном равномерном неравенстве можно перейти к пределу по
Пример простыми словами
На \([0,1]\) функции \(f_{n}(x)=x^{n}\) сходятся поточечно к функции \(f(x)=0\) при \(0\le x\lt 1\) и \(f(1)=1\). Сходимость неравномерна: \(\sup _{x\in [0,1]}|x^{n}-f(x)|=1\) для каждого \(n\).
Частые ошибки
- Переставлять кванторы и считать поточечную сходимость равномерной.
- Проверять равномерную сходимость только в каждой отдельной точке.
- В критерии Коши позволять номеру \(N\) зависеть от \(x\).
