Тауберовы теоремы Таубера и Харди. Средние Валле—Пуссена

Тауберовы теоремы позволяют при дополнительном условии перейти от обобщённой суммируемости к обычной сходимости. Теорема Таубера: если \(\sum a_{n}\) суммируется методом Абеля к \(S\) и \(a_{n}=o(\frac{1}{n})\), то ряд сходится к \(S\). Средние Валле—Пуссена задаются как \(\sigma _{n,k}=(\frac{1}{k})\sum _{j=n}^{n+k-1}S_{j}\). Теорема Харди: если ряд \(\sum c_{k}\) суммируется по Чезаро к \(S\) и \(c_{k}=O(\frac{1}{k})\), то он сходится к \(S\).1

Что важно запомнить
  • Теорема Таубера даёт обратный переход от абелевой суммируемости к обычной сходимости при условии \(a_{n}=o(\frac{1}{n})\).
  • Теорема Харди даёт такой переход от суммируемости по Чезаро при условии \(c_{n}=O(\frac{1}{n})\).
  • Средние Валле—Пуссена усредняют не от начала последовательности, а на сдвинутом блоке \(S_{n},\ldots ,S_{n+k-1}\).
  • Условия \(o(\frac{1}{n})\) и \(O(\frac{1}{n})\) являются существенной частью теорем, а не технической деталью.

Зачем нужны тауберовы теоремы

Регулярный метод суммирования утверждает переход от обычной сходимости к обобщённой. Тауберова теорема решает обратную задачу: при дополнительном ограничении на члены ряда из обобщённой суммируемости выводят обычную сходимость.

Теорема Таубера

Пусть ряд \(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\) суммируется методом Абеля к числу \(S\) и

\[a_{n}=o(\frac{1}{n})\].

Тогда \(\sum a_{n}\) сходится в обычном смысле и его сумма равна \(S\).1

Идея доказательства состоит в сравнении частичной суммы \(S_{N}\) с абелевой суммой при \(x_{N}=\frac{(N-1)}{N}\). Разность разбивают на хвост степенного ряда и поправку от множителей \(x_{N}^{n}\). Условие \(n a_{n}\to 0\) позволяет сделать обе части сколь угодно малыми.

Средние Валле—Пуссена

Для последовательности частичных сумм \(S_{j}\) вводят сдвинутые средние

\[\sigma _{n,k}=(\frac{1}{k})\sum _{j=n}^{n+k-1}S_{j}\].

Если обычные средние Чезаро стремятся к \(S, k_{n}\to \infty \) и отношение \(\frac{n}{k_{n}}\) остаётся ограниченным, то \(\sigma _{n,k_{n}}\to S\).1

Если \(S_{j}=\sum _{r=0}^{j} c_{r}\), то выполняется тождество

\[\sigma _{n,k}=S_{n}+\sum _{j=n+1}^{n+k-1}(1-\frac{(j-n)}{k})c_{j}\].

Тауберова теорема Харди

Пусть ряд \(\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}\) суммируется методом Чезаро к \(S\) и \(c_{k}=O(\frac{1}{k})\). Тогда ряд сходится в обычном смысле к \(S\).1

Действительно, при \(k\) порядка \(\varepsilon n\) среднее Валле—Пуссена уже близко к \(S\), а приведённое тождество и оценка \(|c_{j}|\le \frac{C}{j}\) показывают, что разность между этим средним и \(S_{n}\) не превосходит величины порядка \(\varepsilon \). Сначала выбирают малое \(\varepsilon \), затем достаточно большое \(n\).

Частые ошибки
  • Делать из абелевой или чезаровской суммируемости вывод об обычной сходимости без тауберова условия.
  • Путать условия Таубера \(a_{n}=o(\frac{1}{n})\) и Харди \(c_{n}=O(\frac{1}{n})\).
  • Называть средними Валле—Пуссена обычные средние Чезаро от \(S_{0}\) до \(S_{n}\). Здесь усредняется сдвинутый блок.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Фуфаев Д. В. Лекции по математическому анализу Механико-математический факультет МГУ, 2 курс, 3 семестр, 2020/21 уч. г. Лекция 7 «Тауберовы теоремы»