Ряд \(\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\) суммируется методом Абеля к \(S\), если степенной ряд \(F(x)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}x^{k-1}\) сходится при \(0\le x\lt 1\) и \(F(x)\to S\) при \(x\to 1-\). Метод Абеля регулярен. Теорема Фробениуса утверждает более сильную связь методов: всякий ряд, суммируемый по Чезаро к \(S\), суммируется по Абелю к тому же \(S\). В курсе метод Абеля также доказывается линейным и вполне
Что важно запомнить
- Метод Абеля заменяет исходный ряд семейством сходящихся степенных рядов при \(x\lt 1\) и затем устремляет \(x\) к \(1\) слева.
- Обычная сходимость влечёт суммируемость по Абелю к той же сумме.
- Теорема Фробениуса: суммируемость Чезаро влечёт суммируемость Абеля с той же обобщённой суммой.
- Обратный переход от суммы Абеля к обычной сходимости без дополнительного тауберова условия неверен.
Метод суммирования Абеля
Для ряда \(\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\) рассматривают функцию
\[F(x)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}x^{k-1}, 0\le x\lt 1\].
Если этот степенной ряд сходится для всех \(x\) из \([0,1)\) и существует конечный предел \(F(x)\to S\) при \(x\to 1-\), то исходный ряд называют суммируемым методом Абеля к
Если исходный ряд сходится обычным образом, теорема Абеля о предельном переходе даёт ту же сумму. Поэтому метод Абеля регулярен. Профильный курс также доказывает, что метод Абеля линеен и вполне
Теорема Фробениуса
Если ряд суммируется методом Чезаро к \(S\), то он суммируется методом Абеля к тому же числу
Пусть \(S_{k}\) — частичные суммы, а \(\sigma _{k}=\frac{(S_{1}+\ldots +S_{k})}{k}\). Преобразование Абеля приводит к тождеству
\[F(x)=(1-x)^{2}\sum _{k=1}^{\infty }k\sigma _{k}x^{k-1}\].
Кроме того,
\[1=(1-x)^{2}\sum _{k=1}^{\infty }kx^{k-1}\].
Поэтому \(F(x)-S\) является взвешенным средним величин \(\sigma _{k}-S\) с неотрицательными весами, сумма которых равна \(1\). Из \(\sigma _{k}\to S\) следует \(F(x)\to S\) при \(x\to 1-\). Это и составляет идею доказательства
Пример простыми словами
Для ряда \(1-1+1-1+\ldots \) имеем \(F(x)=1-x+x^{2}-\ldots =\frac{1}{(1+x)}\) при \(0\le x\lt 1\). При \(x\to 1-\) получаем \(F(x)\to \frac{1}{2}\). Это совпадает с его суммой Чезаро, как и утверждает теорема Фробениуса.
Частые ошибки
- Путать метод суммирования Абеля с признаком Абеля сходимости числовых рядов.
- Считать, что существование \(F(x)\) при одном фиксированном \(x\lt 1\) достаточно для суммируемости по Абелю.
- Читать теорему Фробениуса в обратную сторону без дополнительных условий.
