Пусть \(S_{n}\) обозначает частичные суммы ряда \(\sum a_{n}\). Средние Чезаро определяются формулой \(\sigma _{n}=\frac{(S_{1}+\ldots +S_{n})}{n}\). Ряд суммируется методом Чезаро к \(S\), если \(\sigma _{n}\to S\). Метод Чезаро регулярен. Поэтому обычная сходимость \(S_{n}\to S\) обязательно влечёт \(\sigma _{n}\to S\). В рассматриваемом курсе метод также является линейным и вполне регулярным. Конечная суммируемость по Чезаро влечёт \(S_{n}=o(n)\) и
Что важно запомнить
- Чезаро усредняет не сами члены ряда, а его частичные суммы.
- Обычная сходимость всегда влечёт суммируемость по Чезаро к той же сумме.
- Обратное неверно. Метод может присвоить обобщённую сумму расходящемуся ряду.
- Если конечная сумма Чезаро существует, то \(S_{n}=o(n)\) и \(a_{n}=o(n)\).
Определение метода Чезаро
Пусть \(S_{n}=\sum _{k=1}^{n} a_{k}\). Введём средние арифметические частичных сумм
\[\sigma _{n}=(\frac{1}{n})\sum _{k=1}^{n} S_{k}\].
Если \(\sigma _{n}\to S\), говорят, что ряд \(\sum a_{n}\) суммируется методом средних арифметических, или методом Чезаро, к числу
Регулярность
Метод суммирования называется регулярным, если для любого обычно сходящегося ряда его обобщённая сумма совпадает с обычной суммой. Для Чезаро это следует из теоремы о среднем арифметическом сходящейся последовательности: если \(S_{n}\to S\), то
\[\frac{(S_{1}+\ldots +S_{n})}{n}\to S\].
Следовательно, метод Чезаро регулярен. В лекциях курса доказано также, что он линеен и вполне регулярен, то есть сохраняет и пределы \(+\infty \) и
Необходимое условие конечной суммируемости
Если \(\sigma _{n}\) имеет конечный предел, то
\[S_{n}=n\sigma _{n}-(n-1)\sigma _{n-1}=o(n)\].
Отсюда \(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=o(n)\). Эти условия необходимы, но сами по себе не являются достаточными для суммируемости по
Пример простыми словами
Ряд \(1-1+1-1+\ldots \) расходится в обычном смысле. Его частичные суммы равны \(1,0,1,0,\ldots \), поэтому их средние \(\sigma _{n}\) стремятся к \(\frac{1}{2}\). Значит, ряд имеет сумму Чезаро \(\frac{1}{2}\).
Частые ошибки
- Усреднять члены \(a_{n}\) вместо частичных сумм \(S_{n}\).
- Из суммируемости по Чезаро автоматически делать вывод об обычной сходимости.
- Считать условия \(S_{n}=o(n)\) и \(a_{n}=o(n)\) достаточными для существования суммы Чезаро.
