Формула Стирлинга

Формула Стирлинга описывает рост факториала: \(n!\sim \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^{n}\) при \(n\to \infty \). Эквивалентно отношение \(\frac{n!}{[\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^{n}]}\) стремится к \(1\). Более точная форма имеет вид \(n!=\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^{n}\cdot \exp (\frac{\theta _{n}}{(12n)})\), где \(0\lt \theta _{n}\lt 1\). В логарифмической форме \(\ln n!=n \ln n-n+(\frac{1}{2})\ln (2\pi n)+O(\frac{1}{n})\).1

Что важно запомнить
  • Основная асимптотика: \(n!\sim \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^{n}\).
  • Символ \(\sim\) означает, что отношение левой и правой частей стремится к \(1\).
  • Множитель \(\sqrt{2\pi n}\) принципиален. Без него относительная ошибка не стремится к нулю.
  • Логарифмическая форма особенно удобна при произведениях, биномиальных коэффициентах и оценках больших факториалов.

Формула Стирлинга

При \(n\to \infty \) выполняется

\[n!\sim \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^{n}\].

То есть

\[\lim _{n\to \infty } \frac{n!}{[\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^{n}]}=1\].1

В конспекте курса сначала устанавливается существование конечного ненулевого предела для нормированной последовательности \(\frac{n!}{[n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}]}\). Затем формула Валлиса позволяет вычислить этот предел и получить константу \(\sqrt{2\pi }\).1

Уточнение остатка

Формулу можно записать в виде

\[n!=\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^{n}\cdot e^{\varepsilon _{n}}\],

где \(\varepsilon _{n}\to 0\). Более точная оценка допускает представление \(\varepsilon _{n}=\frac{\theta _{n}}{(12n)}\) с \(0\lt \theta _{n}\lt 1\).1

После логарифмирования получаем

\[\ln n!=n \ln n-n+(\frac{1}{2})\ln (2\pi n)+O(\frac{1}{n})\].

Почему формула полезна

Она превращает быстро растущий факториал в явное асимптотическое выражение. Поэтому с её помощью исследуют пределы, коэффициенты комбинаторных формул и сходимость выражений, содержащих \(n!\).

Пример простыми словами

Из формулы Стирлинга следует классическая асимптотика центрального биномиального коэффициента: \(C(2n,n)\sim \frac{4^{n}}{\sqrt{\pi n}}\).

Частые ошибки
  • Воспринимать знак \(\sim\) как точное равенство для конечного \(n\).
  • Забывать множитель \(\sqrt{2\pi n}\).
  • Подменять относительную асимптотику только грубой оценкой порядка \(n^{n}e^{-n}\).

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Шапошников С. В. Краткий конспект лекций по математическому анализу Механико-математический факультет МГУ, 2 курс, осенний семестр. Разд. 2 «Признак Гаусса и формула Стирлинга»