Сходимость бесконечного произведения
Для последовательности чисел \(b_{n}\) вводят частичные произведения
\[P_{N}=\prod _{n=1}^{N} b_{n}\].
Бесконечное произведение \(\prod b_{n}\) называют сходящимся, если существует предел \(P_{N}\to P\), где \(0\lt |P|\lt \infty \). Из этого определения следует необходимое условие \(b_{n}=\frac{P_{n}}{P_{n-1}}\to 1\).1
Если \(b_{n}\gt 0\), то
\(\prod _{n=1}^{\infty }b_{n}\) сходится \(\Leftrightarrow \sum _{n=1}^{\infty }\ln b_{n}\) сходится,
а в случае сходимости \(\prod b_{n}=\exp (\sum \ln b_{n})\). Для \(b_{n}=1+u_{n}\) и \(u_{n}\to 0\) абсолютная сходимость \(\sum |u_{n}|\) является достаточным условием сходимости произведения.1
Произведения Эйлера
Для синуса справедливо разложение
\[\sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }(1-\frac{x^{2}}{(\pi ^{2}n^{2})})\].
Из него получают разложение косинуса
\[\cos x=\prod _{n=1}^{\infty }(1-\frac{4x^{2}}{(\pi ^{2}(2n-1)^{2})})\].
Факторы отражают расположение нулей тригонометрических функций. В ненулевых точках \(x=\pi m\), где \(\sin x=0\), один из факторов произведения для синуса обращается в нуль. При \(x=0\) нуль даёт внешний множитель \(x\). В нулях косинуса один из факторов его произведения также равен нулю. Стандартное определение сходимости бесконечного произведения к ненулевому пределу применяется вне таких нулевых факторов, а сами формулы Эйлера в нулях остаются верными как тождества.1
Формула Валлиса
Рассмотрим \(I_{n}=\int _{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{n} x dx\). Интегрирование по частям даёт рекурсию
\[I_{n}=\frac{(n-1)I_{n-2}}{n}\].
При \(I_{0}=\frac{\pi}{2}\) и \(I_{1}=1\) из неё получают формулы для \(I_{2n}\) и \(I_{2n+1}\). Сравнение соседних интегралов приводит к произведению Валлиса
\[\frac{\pi}{2}=\prod _{n=1}^{\infty }\frac{(2n)^{2}}{((2n-1)(2n+1))}\].1