Перестановкой членов ряда \(\sum a_{n}\) называется ряд \(\sum a_{\pi (n)}\), где \(\pi \) — биекция натуральных чисел. Абсолютно сходящийся ряд после любой перестановки сохраняет сходимость и сумму. Для условно сходящегося действительного ряда перестановка может изменить сумму. Произведением по Коши рядов \(\sum a_{n}\) и \(\sum b_{n}\) называют ряд \(\sum c_{n}\), где \(c_{n}=\sum _{k=1}^{n} a_{k}b_{n-k+1}\). Если один исходный ряд сходится абсолютно, а другой сходится, произведение по Коши сходится к произведению их
Что важно запомнить
- Абсолютная сходимость гарантирует неизменность суммы при любой перестановке.
- По теореме Римана условно сходящийся действительный ряд можно переставить так, чтобы получить любую заранее заданную конечную сумму.
- Для произведения по Коши коэффициенты складывают по диагоналям: \(c_{n}=\sum _{k=1}^{n} a_{k}b_{n-k+1}\).
- Теорема Мертенса требует абсолютной сходимости хотя бы одного из двух множителей. Если оба ряда сходятся абсолютно, их произведение по Коши также сходится абсолютно.
Перестановка членов ряда
Пусть ряд \(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\) задан и \(\pi :N\to N\) является биекцией. Ряд \(\sum _{n=1}^{\infty }a_{\pi (n)}\) называют перестановкой исходного ряда.
Если \(\sum |a_{n}|\) сходится, то любая перестановка также сходится абсолютно и имеет ту же сумму. Это теорема Коши о перестановках. Причина состоит в том, что абсолютная сходимость позволяет сделать суммарный модуль всех ещё не учтённых членов сколь угодно малым независимо от их
Для условно сходящихся действительных рядов ситуация принципиально иная. Теорема Римана утверждает, что для любого \(A\in \mathbb{R}\) существует перестановка условно сходящегося ряда, сходящаяся к \(A\). Существуют также перестановки, расходящиеся к \(+\infty \), к \(-\infty \) или не имеющие
Произведение рядов по Коши
Пусть \(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=A\) и \(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}=B\). Их произведением по Коши называют ряд \(\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\) с коэффициентами
\[c_{n}=\sum _{k=1}^{n} a_{k}b_{n-k+1}=a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n-1}+\ldots +a_{n}b_{1}\].
Если оба исходных ряда сходятся абсолютно, то ряд \(\sum c_{n}\) сходится абсолютно и его сумма равна \(AB\). Более общий результат даёт теорема Мертенса: если один из рядов сходится абсолютно, а второй сходится, то произведение по Коши сходится и имеет сумму
Обычной сходимости обоих исходных рядов без дополнительного условия недостаточно, чтобы гарантировать сходимость произведения по Коши.
Пример простыми словами
При \(|x|\lt 1\) ряд \(\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\) сходится абсолютно и имеет сумму \(\frac{1}{(1-x)}\). Его произведение по Коши с самим собой равно \(\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)x^{n}\) и имеет сумму \(\frac{1}{(1-x)^{2}}\).
Частые ошибки
- Считать сумму условно сходящегося ряда неизменной при произвольной перестановке.
- В произведении по Коши перемножать только члены с одинаковыми номерами вместо суммирования по диагонали.
- Применять теорему Мертенса к двум произвольно сходящимся рядам без абсолютной сходимости хотя бы одного из них.
