Признак Дирихле: если частичные суммы \(A_{N}=\sum _{n=1}^{N} a_{n}\) ограничены, а \(b_{n}\) монотонно стремится к нулю, то \(\sum a_{n}b_{n}\) сходится. Признак Абеля: если \(\sum a_{n}\) сходится, а \(b_{n}\) монотонна и ограничена, то \(\sum a_{n}b_{n}\) сходится. Оба результата следуют из преобразования Абеля. В признаке Абеля ограниченная монотонная \(b_{n}\) имеет конечный
Что важно запомнить
- В Дирихле не требуется сходимость \(\sum a_{n}\). Достаточно ограниченности его частичных сумм.
- Множитель \(b_{n}\) в стандартном признаке Дирихле монотонен и стремится к нулю.
- В признаке Абеля исходный ряд \(\sum a_{n}\) уже должен сходиться.
- Монотонность и ограниченность \(b_{n}\) в Абеле гарантируют существование конечного предела.
- Оба признака удобно доказываются преобразованием Абеля.
Признак Дирихле
Пусть частичные суммы
\[A_{N}=\sum _{n=1}^{N} a_{n}\]
ограничены, а последовательность \(b_{n}\) монотонна и \(b_{n}\to 0\). Тогда ряд
\[\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}\]
Доказательство получают преобразованием Абеля. Граничный член \(A_{N}b_{N}\) стремится к нулю, а монотонность \(b_{n}\) обеспечивает конечную вариацию её хвоста.
Признак Абеля
Пусть ряд \(\sum a_{n}\) сходится, а \(b_{n}\) монотонна и ограничена. Тогда \(\sum a_{n}b_{n}\)
Поскольку \(b_{n}\) имеет конечный предел \(b\), запишем \(b_{n}=b+(b_{n}-b)\). Первая часть даёт \(b\sum a_{n}\), а для второй применяем признак Дирихле, потому что частичные суммы \(\sum a_{n}\) ограничены, а \(b_{n}-b\) монотонно стремится к нулю.
Сравнение условий
Дирихле требует меньше от ряда \(\sum a_{n}\), но больше от множителя: \(b_{n}\) должна стремиться к нулю. Абель требует сходимость \(\sum a_{n}\), зато \(b_{n}\) может стремиться к ненулевому конечному пределу.
Пример простыми словами
Для \(\theta \notin 2\pi Z\) частичные суммы \(\sum _{k=1}^{N} \sin (k\theta )\) ограничены. Поскольку \(\frac{1}{n}\) монотонно стремится к нулю, ряд \(\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin (n\theta )}{n}\) сходится по признаку Дирихле.
Частые ошибки
- Требовать сходимость \(\sum a_{n}\) в признаке Дирихле вместо ограниченности частичных сумм.
- Забывать условие \(b_{n}\to 0\) в Дирихле.
- Использовать признак Абеля, когда \(\sum a_{n}\) расходится.
- Путать этот признак Абеля с методом суммирования Абеля или теоремой Абеля для степенных рядов.
