Преобразование Абеля — дискретный аналог интегрирования по частям. Если \(A_{k}=\sum _{j=1}^{k} a_{j}\), то для любого \(N\) выполняется \(\sum _{k=1}^{N} a_{k}b_{k}=A_{N}b_{N}+\sum _{k=1}^{N-1}A_{k}(b_{k}-b_{k+1})\). Формула переводит произведение членов ряда в выражение через частичные суммы одного множителя и приращения другого и лежит в основе признаков Дирихле и
Что важно запомнить
- \(A_{k}\) в формуле Абеля — частичные суммы \(a_{1}+\ldots +a_{k}\), а не отдельные члены \(a_{k}\).
- Преобразование Абеля является точным конечным тождеством и дискретным аналогом интегрирования по частям.
- Если \(A_{k}\) ограничены и \(b_{n}\to 0\), граничный член \(A_{N}b_{N}\) стремится к нулю.
- Если дополнительно \(\sum |b_{k}-b_{k+1}|\lt \infty \), преобразованный ряд \(\sum A_{k}(b_{k}-b_{k+1})\) сходится абсолютно.
Конечная формула
Пусть
\[A_{k}=a_{1}+\ldots +a_{k}\].
Тогда для любого \(N\)
Эту формулу называют преобразованием Абеля или суммированием по частям.
Доказательство
Так как \(a_{k}=A_{k}-A_{k-1}\) и \(A_{0}=0\),
\[\sum _{k=1}^{N} a_{k}b_{k}=\sum _{k=1}^{N}(A_{k}-A_{k-1})b_{k}\].
После разбиения суммы и сдвига индекса получаем граничный член \(A_{N}b_{N}\) и сумму \(A_{k}(b_{k}-b_{k+1})\).
Переход к бесконечному ряду
Если частичные суммы \(A_{k}\) ограничены, \(b_{N}\to 0\) и последовательность \(b\) имеет ограниченную вариацию, то \(A_{N}b_{N}\to 0\), а
\[\sum |A_{k}(b_{k}-b_{k+1})|\le M\sum |b_{k}-b_{k+1}|\lt \infty \].
Следовательно, \(\sum a_{k}b_{k}\)
Роль формулы
Преобразование Абеля отделяет накопленный эффект последовательности \(a_{k}\) от изменения множителя \(b_{k}\). Из него естественно выводятся признаки Дирихле и Абеля для рядов.
Пример простыми словами
Если \(a_{k}=(-1)^{k-1}\), то частичные суммы \(A_{k}\) равны \(0\) или \(1\) и ограничены. При \(b_{k}=\frac{1}{k}\) преобразование Абеля сразу сводит вопрос к сумме приращений \(\frac{1}{k}-\frac{1}{(k+1)}\).
Частые ошибки
- Путать \(A_{k}\) с \(a_{k}\).
- Менять знак разности \(b_{k}-b_{k+1}\) без одновременного изменения формулы.
- Переходить к бесконечной формуле, не проверив граничный член \(A_{N}b_{N}\).
- Считать преобразование Абеля самостоятельным признаком сходимости без условий на множители.
