Последовательность \((b_{n})\) имеет ограниченную вариацию, если \(\sum _{n=1}^{\infty }|b_{n+1}-b_{n}|\lt \infty \). Тогда сумма всех абсолютных приращений конечна, поэтому \((b_{n})\) является фундаментальной и имеет конечный предел. Монотонная ограниченная последовательность всегда имеет ограниченную вариацию. Класс последовательностей ограниченной вариации замкнут относительно линейных комбинаций и
Что важно запомнить
- Вариация последовательности равна сумме модулей её соседних приращений.
- Ограниченная вариация сильнее простой ограниченности.
- Всякая последовательность ограниченной вариации сходится.
- Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет ограниченную вариацию.
- Если \(b_{n}\to 0\) и \((b_{n})\) имеет ограниченную вариацию, её удобно использовать как множитель в преобразовании Абеля.
Определение
Для числовой последовательности \((b_{n})\) полной вариацией называют
\[V(b)=\sum _{n=1}^{\infty }|b_{n+1}-b_{n}|\].
Если \(V(b)\lt \infty \), последовательность называют последовательностью ограниченной вариации. Это дискретный аналог функции ограниченной
Сходимость
Для \(m\gt n\) имеем
\[|b_{m}-b_{n}|\le \sum _{k=n}^{m-1}|b_{k+1}-b_{k}|\].
Хвост сходящегося положительного ряда справа стремится к нулю. Поэтому \((b_{n})\) фундаментальна и сходится.
Основные свойства
Линейная комбинация двух последовательностей ограниченной вариации снова имеет ограниченную вариацию. Такие последовательности автоматически ограничены. Поэтому для произведения выполняется оценка
\[V(bc)\le \sup _{n}|b_{n}|\cdot V(c)+\sup _{n}|c_{n}|\cdot V(b)\],
и произведение также имеет ограниченную вариацию.
Если \(b_{n}\) монотонна и ограничена, то суммы \(|b_{n+1}-b_{n}|\) телескопируются, следовательно \(V(b)=|\lim b_{n}-b_{1}|\lt \infty \).
Пример простыми словами
Последовательность \(b_{n}=\frac{1}{n}\) монотонно убывает к нулю. Её вариация равна \(\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{1}{n}-\frac{1}{(n+1)})=1\), поэтому она имеет ограниченную вариацию.
Частые ошибки
- Считать любую ограниченную последовательность последовательностью ограниченной вариации.
- Убирать модуль из суммы приращений в определении полной вариации.
- Считать, что последовательность ограниченной вариации обязана стремиться к нулю. В общем случае она лишь имеет конечный предел.
