Знакочередующийся ряд имеет вид \(\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}b_{n}\), где \(b_{n}\ge 0\). Если \(b_{n+1}\le b_{n}\) и \(b_{n}\to 0\), то ряд сходится по признаку Лейбница. Для остатка \(r_{N}=S-S_{N}\) выполняются \(|r_{N}|\le b_{N+1}\) и совпадение знака \(r_{N}\) со знаком первого отброшенного члена. Если монотонность начинается только с некоторого \(N_{0}\), сходимость сохраняется, а оценка остатка применяется для
Что важно запомнить
- В стандартной формулировке Лейбница \(b_{n}\) не возрастает и стремится к нулю.
- Если монотонность начинается только с \(N_{0}\), конечный начальный участок не влияет на сходимость.
- Для \(N\), лежащего в монотонном хвосте, \(|r_{N}|\le b_{N+1}\), а знак остатка совпадает со знаком первого отброшенного члена.
- Признак Лейбница доказывает сходимость, но не обязательно абсолютную.
Признак Лейбница
Рассмотрим ряд
\[b_{1}-b_{2}+b_{3}-b_{4}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}b_{n}\],
где \(b_{n}\ge 0, b_{n+1}\le b_{n}\) и \(b_{n}\to 0\). Тогда ряд
Если монотонность выполняется лишь начиная с некоторого номера \(N_{0}\), можно отбросить конечный начальный участок. Это не меняет сходимость ряда.
Почему ряд сходится
В стандартной форме чётные частичные суммы \(S_{2k}\) возрастают, а нечётные \(S_{2k-1}\) убывают. Кроме того, \(S_{2k}\le S_{2k-1}\). Расстояние между соседними частичными суммами равно соответствующему \(b_{n}\) и стремится к нулю. Поэтому обе подпоследовательности частичных сумм имеют один предел.
Оценка остатка
Пусть \(S\) является суммой ряда и \(r_{N}=S-S_{N}\). Тогда
\[|r_{N}|\le b_{N+1}\],
причём \(r_{N}\) имеет тот же знак, что и первый отброшенный член \((-1)^{N} b_{N+1}\). Если монотонность \(b_{n}\) начинается только с \(N_{0}\), эта оценка и утверждение о знаке применяются для
Пример простыми словами
Для ряда \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots \) после первых \(10\) членов ошибка по модулю не превышает \(\frac{1}{11}\). Сам ряд сходится, но не абсолютно, поскольку гармонический ряд из модулей расходится.
Частые ошибки
- Проверять только \(b_{n}\to 0\) и забывать условие монотонности в стандартном признаке Лейбница.
- Превращать оценку \(|r_{N}|\le b_{N+1}\) в равенство.
- Применять оценку остатка до участка, на котором уже выполнена монотонность \(b_{n}\).
- Делать вывод об абсолютной сходимости только из признака Лейбница.
