Ряд \(\sum a_{n}\) сходится абсолютно, если сходится \(\sum |a_{n}|\). Абсолютная сходимость всегда влечёт обычную сходимость. Если \(\sum a_{n}\) сходится, но \(\sum |a_{n}|\) расходится, сходимость называется условной. Для действительного ряда абсолютная сходимость эквивалентна сходимости рядов из положительных и отрицательных
Что важно запомнить
- Абсолютная сходимость означает сходимость ряда \(\sum |a_{n}|\).
- Сходимость ряда модулей всегда влечёт сходимость исходного ряда.
- Условно сходящийся ряд сходится сам, но ряд его модулей расходится.
- Для действительных рядов абсолютная сходимость сохраняет сумму при перестановках. У условно сходящихся рядов перестановки могут менять сумму или разрушать сходимость.
Абсолютная сходимость
Ряд \(\sum a_{n}\) называется абсолютно сходящимся, если
\[\sum |a_{n}|\lt \infty \].
По критерию Коши
\[|a_{m+1}+\ldots +a_{n}|\le |a_{m+1}|+\ldots +|a_{n}|\],
поэтому сходимость ряда модулей влечёт сходимость исходного
Условная сходимость
Если \(\sum a_{n}\) имеет конечную сумму, но \(\sum |a_{n}|\) расходится, ряд называется условно сходящимся.
Для действительного \(a_{n}\) удобно писать \(a_{n}=a_{n}^{+}-a_{n}^{-}\), где \(a_{n}^{+}=\max (a_{n},0), a_{n}^{-}=\max (-a_{n},0)\). Абсолютная сходимость эквивалентна конечности обеих сумм \(\sum a_{n}^{+}\) и \(\sum a_{n}^{-}\). При условной сходимости обе эти положительные суммы бесконечны, хотя разность частичных сумм имеет конечный предел.
Почему различие важно
Абсолютная сходимость обеспечивает устойчивость к перестановке членов и позволяет безопасно применять многие операции с рядами. У условно сходящихся действительных рядов перестановки могут менять сумму и даже разрушать
Пример простыми словами
Знакочередующийся гармонический ряд \(\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{n}\) сходится по Лейбницу, но \(\sum \frac{1}{n}\) расходится. Поэтому он сходится условно.
Частые ошибки
- Знакопеременность ряда сама по себе не означает условную сходимость.
- Абсолютную сходимость проверяют по ряду \(\sum |a_{n}|\).
- Условно сходящийся ряд имеет конечную сумму. Расходится именно ряд его модулей.
- Свободную перестановку членов абсолютно сходящегося ряда нельзя переносить на условно сходящийся ряд.
