Признак Куммера рассматривает положительный ряд \(\sum a_{n}\) вместе с вспомогательной последовательностью \(c_{n}\gt 0\) и величиной \(K_{n}=c_{n}\cdot \frac{a_{n}}{a_{n+1}}-c_{n+1}\). Если \(K_{n}\ge \delta \gt 0\) начиная с некоторого номера, ряд сходится. Если \(\sum \frac{1}{c_{n}}\) расходится и \(K_{n}\le 0\) начиная с некоторого номера, ряд расходится. Выбор \(c_{n}=n\) приводит к признаку Раабе: при \(R=\lim n(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1)\) ряд сходится для \(R\gt 1\) и расходится для \(R\lt 1\). При \(R=1\) критерий не решает
Что важно запомнить
- Куммер является общим критерием с настраиваемой положительной последовательностью \(c_{n}\).
- Для сходимости достаточно \(K_{n}\) быть отделённым от нуля положительной константой.
- Для утверждения о расходимости Куммера дополнительно нужна расходимость \(\sum \frac{1}{c_{n}}\).
- Раабе получается из Куммера при \(c_{n}=n\).
- В признаке Раабе значение \(R=1\) является пограничным и требует другого критерия.
Признак Куммера
Пусть \(a_{n}\gt 0\) и \(c_{n}\gt 0\). Введём
\[K_{n}=c_{n}\cdot \frac{a_{n}}{a_{n+1}}-c_{n+1}\].
Если существует \(\delta \gt 0\) такое, что \(K_{n}\ge \delta \) для всех достаточно больших \(n\), то ряд \(\sum a_{n}\) сходится. Если ряд \(\sum \frac{1}{c_{n}}\) расходится и \(K_{n}\le 0\) для всех достаточно больших \(n\), то \(\sum a_{n}\)
В предельной форме, если \(K_{n}\to K\), то \(K\gt 0\) даёт сходимость. При \(K\lt 0\) и расходимости \(\sum \frac{1}{c_{n}}\) получаем расходимость.
Признак Раабе
Возьмём \(c_{n}=n\). Тогда
\[K_{n}=n(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1)-1\].
Поэтому если существует предел
\[R=\lim _{n\to \infty }n(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1)\],
то при \(R\gt 1\) положительный ряд сходится, а при \(R\lt 1\) расходится. При \(R=1\) критерий не даёт
Зачем нужны эти признаки
Даламбер часто становится бессильным, когда \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\to 1\). Куммер и Раабе исследуют следующий порядок отклонения отношения соседних членов от единицы и поэтому различают многие пограничные случаи.
Пример простыми словами
Для \(a_{n}=\frac{1}{n^{p}}\) имеем \(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=(\frac{(n+1)}{n})^{p}=1+\frac{p}{n}+O(\frac{1}{n^{2}})\). Поэтому \(R=p\). Признак Раабе даёт сходимость при \(p\gt 1\) и расходимость при \(p\lt 1\). Случай \(p=1\) остаётся пограничным и соответствует гармоническому ряду.
Частые ошибки
- В расходящейся части критерия Куммера необходимо условие \(\sum \frac{1}{c_{n}}=\infty \).
- Формула Раабе использует отношение \(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\). При переходе к обратному отношению меняется знак первого поправочного члена.
- Значение \(R=1\) является пограничным и этим критерием не разрешается.
- Признак Раабе получается из критерия Куммера выбором \(c_{n}=n\).
