Признаки Даламбера, Коши, Гаусса и интегральный признак сходимости положительных рядов

Пусть \(a_{n}\gt 0\). Признак Даламбера: если \(q=\lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\), то при \(q\lt 1\) ряд сходится, а при \(q\gt 1\) расходится. Радикальный признак Коши даёт те же выводы при существовании \(q=\lim \sqrt[n]{a_{n}}\). При \(q=1\) оба признака не решают вопрос. Признак Гаусса уточняет отношение \(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\) до следующего порядка. Интегральный признак сравнивает \(\sum f(n)\) с \(\int f\) для положительной убывающей функции.1

Что важно запомнить
  • Даламбер использует предел \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\), а радикальный Коши — предел \(\sqrt[n]{a_{n}}\).
  • При \(q\lt 1\) ряд сходится, при \(q\gt 1\) расходится. Значение \(q=1\) в этих двух признаках ответа не даёт.
  • В признаке Гаусса учитывается следующий член разложения отношения \(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\) около \(1\).
  • Интегральный признак требует положительности, непрерывности и монотонного убывания функции начиная с некоторого места.

Признак Даламбера

Пусть \(a_{n}\gt 0\) и существует предел

\[q=\lim _{n\to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\].

Если \(q\lt 1\), то можно выбрать число \(r\) между \(q\) и \(1\), после чего для всех достаточно больших \(n\) выполняется \(a_{n+1}\le ra_{n}\). Хвост ряда сравнивается с геометрической прогрессией и поэтому сходится. Если \(q\gt 1\), то для некоторого \(r\gt 1\) начиная с некоторого номера \(a_{n+1}\ge ra_{n}\). В частности, \(a_{n}\) не стремится к нулю, поэтому ряд расходится. При \(q=1\) признак не даёт ответа.1

Радикальный признак Коши

Пусть существует предел

\[q=\lim _{n\to \infty }\sqrt[n]{a_{n}}\].

Если \(q\lt 1\), ряд сходится. Если \(q\gt 1\), его общий член не стремится к нулю и ряд расходится. При \(q=1\) критерий не решает вопрос.1

Признак Гаусса

Пусть \(a_{n}\gt 0\) и при некотором \(\varepsilon \gt 0\)

\[\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=\lambda +\frac{\mu}{n}+O(\frac{1}{n^{1+\varepsilon }})\].

Если \(\lambda \gt 1\), ряд сходится, а если \(\lambda \lt 1\), расходится. В пограничном случае \(\lambda =1\) ряд сходится при \(\mu \gt 1\) и расходится при \(\mu \le 1\). Поэтому признак Гаусса позволяет исследовать многие случаи, в которых отношение \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\) стремится к \(1\) и Даламбер не даёт ответа.1

Интегральный признак

Пусть \(f:[N,\infty )\to (0,\infty )\) непрерывна и монотонно убывает, а \(a_{n}=f(n)\). Тогда

\(\sum _{n=N}^{\infty }a_{n}\) и \(\int _{N}^{\infty }f(x)dx\)

сходятся или расходятся одновременно. Для сходящегося ряда остаток оценивается так:

\[\int _{N+1}^{\infty }f(x)dx\le r_{N}\le \int _{N}^{\infty }f(x)dx\].1

Пример простыми словами

Для \(p\)-ряда \(\sum \frac{1}{n^{p}}\) интегральный признак сравнивает его с \(\int _{1}^{\infty }x^{-p}dx\). Интеграл сходится ровно при \(p\gt 1\), поэтому то же условие является критерием сходимости \(p\)-ряда.

Частые ошибки
  • Значение \(q=1\) в признаке Даламбера и радикальном признаке Коши не даёт ответа.
  • Интегральный признак требует положительной непрерывной функции, монотонно убывающей на хвосте.
  • Признак Гаусса использует отношение \(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\). Переход к обратному отношению меняет коэффициенты разложения и вывод.
  • Конечное число первых членов не влияет на сходимость ряда.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бадерко Е. А. Лекции по математическому анализу, III семестр, мехмат МГУ MSU-MATAN-081. Глава 1, §2: признаки Даламбера, Гаусса, радикальный и интегральный признаки Коши.