Для ряда с неотрицательными членами частичные суммы монотонны, поэтому такой ряд сходится тогда и только тогда, когда они ограничены сверху. Если \(0\le a_{n}\le b_{n}\) начиная с некоторого номера и \(\sum b_{n}\) сходится, то \(\sum a_{n}\) сходится. Если \(0\le b_{n}\le a_{n}\) и \(\sum b_{n}\) расходится, то \(\sum a_{n}\) расходится. Если \(\frac{a_{n}}{b_{n}}\to c\in (0,\infty )\), оба положительных ряда сходятся или расходятся
Что важно запомнить
- Для положительного ряда сходимость эквивалентна ограниченности частичных сумм.
- В прямом сравнении сходящийся мажорант доказывает сходимость меньшего ряда.
- Расходящийся минорант доказывает расходимость большего ряда.
- При \(\frac{a_{n}}{b_{n}}\to c\in (0,\infty )\) ряды имеют одинаковый характер сходимости.
- Предельное сравнение с пределом \(0\) или \(\infty \) даёт только односторонние выводы.
Критерий для положительного ряда
Если \(a_{n}\ge 0\), то частичные суммы \(S_{N}\) возрастают. Поэтому \(\sum a_{n}\) сходится тогда и только тогда, когда последовательность \(S_{N}\) ограничена
Прямой признак сравнения
Пусть начиная с некоторого номера \(0\le a_{n}\le b_{n}\). Если \(\sum b_{n}\) сходится, то \(\sum a_{n}\) также сходится. Если же \(0\le b_{n}\le a_{n}\) и \(\sum b_{n}\) расходится, то \(\sum a_{n}\) расходится.
Изменение конечного числа членов не влияет на сходимость, поэтому сравнение достаточно проверять только для больших
Предельный признак сравнения
Пусть \(a_{n}\gt 0, b_{n}\gt 0\) и
\[\lim _{n\to \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}}=c\].
Если \(0\lt c\lt \infty \), то начиная с некоторого номера \(a_{n}\) и \(b_{n}\) отличаются только на постоянные множители. Поэтому \(\sum a_{n}\) и \(\sum b_{n}\) сходятся или расходятся одновременно.
Есть полезные односторонние варианты. Если \(\frac{a_{n}}{b_{n}}\to 0\) и \(\sum b_{n}\) сходится, то \(\sum a_{n}\) сходится. Если \(\frac{a_{n}}{b_{n}}\to \infty \) и \(\sum b_{n}\) расходится, то \(\sum a_{n}\)
Пример простыми словами
Для ряда \(\sum \frac{1}{(n^{2}+1)}\) сравниваем \(a_{n}=\frac{1}{(n^{2}+1)}\) с \(b_{n}=\frac{1}{n^{2}}\). Имеем \(\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{n^{2}}{(n^{2}+1)}\to 1\). Поскольку \(\sum \frac{1}{n^{2}}\) сходится, исходный ряд также сходится.
Частые ошибки
- Направление неравенства в прямом сравнении определяет, какой ряд служит мажорантой или минорантой.
- Расходимость большего ряда ничего не говорит о сходимости меньшего.
- Предел \(\frac{a_{n}}{b_{n}}=0\) даёт только односторонний вывод, а не одинаковый характер сходимости.
- Сравнение достаточно выполнять начиная с некоторого номера.
