Числовой ряд \(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\) определяется последовательностью частичных сумм \(S_{N}=\sum _{n=1}^{N} a_{n}\). Ряд сходится, если \(S_{N}\) имеет конечный предел \(S\). Это число называется суммой ряда. Остаток после \(N\) членов равен \(r_{N}=S-S_{N}=\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}\). Необходимое условие сходимости: \(a_{n}\to 0\). Критерий Коши: для любого \(\varepsilon \gt 0\) суммы любых достаточно далёких конечных блоков ряда должны быть по модулю меньше
Что важно запомнить
- Сходимость ряда означает сходимость последовательности его частичных сумм. Их предел является суммой \(S\).
- Остаток \(r_{N}\) сходящегося ряда стремится к нулю.
- Из сходимости обязательно следует \(a_{n}\to 0\), но обратное утверждение неверно.
- Критерий Коши проверяет произвольные достаточно далёкие конечные блоки и не требует заранее знать сумму ряда.
Частичные суммы и сумма ряда
Для последовательности чисел \(a_{1},a_{2},\ldots \) вводят частичные суммы
\[S_{N}=a_{1}+\ldots +a_{N}\].
Символ \(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\) обозначает числовой ряд. Он называется сходящимся, если существует конечный предел
\[S=\lim _{N\to \infty }S_{N}\].
Число \(S\) называют суммой ряда. Если предела нет или он бесконечен, ряд
Остаток
Для сходящегося ряда остатком после \(N\)-го члена называется
\[r_{N}=S-S_{N}=\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}\].
По определению сходимости \(r_{N}\to 0\).
Необходимый признак
Если \(\sum a_{n}\) сходится, то
\[a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\to S-S=0\].
Это только необходимое условие. Например, \(a_{n}=\frac{1}{n}\) стремится к нулю, но гармонический ряд
Критерий Коши
Ряд \(\sum a_{n}\) сходится тогда и только тогда, когда для любого \(\varepsilon \gt 0\) существует \(N\) такое, что для всех \(n\gt m\ge N\)
\[|a_{m+1}+\ldots +a_{n}|\lt \varepsilon \].
Действительно, выражение внутри модуля равно \(S_{n}-S_{m}\), поэтому это обычный критерий Коши для последовательности частичных
Пример простыми словами
Для геометрического ряда \(\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}\) при \(|q|\lt 1\) имеем \(S_{N}=\frac{(1-q^{N+1})}{(1-q)}\), поэтому \(S=\frac{1}{(1-q)}\), а остаток после \(N\)-го индекса равен \(\frac{q^{N+1}}{(1-q)}\).
Частые ошибки
- Условие \(a_{n}\to 0\) необходимо, но недостаточно для сходимости ряда.
- Член \(a_{N}\) и остаток \(r_{N}\) — разные объекты.
- Критерий Коши проверяет все достаточно далёкие конечные блоки, а не один выбранный хвост.
