Теорема о функциональной зависимости

Пусть \(f=(f_{1},\ldots ,f_{m}):U\subseteq \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{m}, f\in C^{1}\). Если в некоторой окрестности точки \(a\) ранг \(Df\) постоянно равен \(r\lt m\), то после перенумерации \(r\) компонент можно выбрать локально функционально независимыми, а остальные локально выразить через них. Поэтому возникают \(m-r\) независимых регулярных функциональных соотношений. Обратно, если в окрестности \(a\) выполнено регулярное соотношение \(\Phi (f(x))=0\) с \(\nabla \Phi (f(a))\ne 0\), то дифференциалы \(df_{i}(a)\) линейно зависимы и \(\operatorname{rank} Df(a)\lt m\).1

Что важно запомнить
  • В ранговой теореме рассматривают локальную регулярную зависимость: \(\Phi \in C^{1}\) и \(\nabla \Phi (f(a))\ne 0\).
  • Постоянный ранг \(r\lt m\) позволяет выбрать \(r\) локально независимых компонент. Остальные выражаются через них, а образ задаётся \(m-r\) независимыми соотношениями.
  • Дифференцирование \(\Phi (f(x))=0\) даёт линейное соотношение между дифференциалами \(df_{i}\).
  • В квадратном случае функциональная зависимость даёт вырожденность якобиана в окрестности, но \(\det Df(a)=0\) в одной точке недостаточно для обратного вывода.

Регулярная локальная функциональная зависимость

Пусть \(f=(f_{1},\ldots ,f_{m}):U\subseteq \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{m}\) является отображением класса \(C^{1}\). В контексте ранговой теоремы говорят о регулярной локальной зависимости в окрестности точки \(a\), если существует функция \(\Phi \) класса \(C^{1}\), определённая в окрестности \(f(a)\), такая, что

\[\Phi (f_{1}(x),\ldots ,f_{m}(x))=0\]

для всех \(x\), достаточно близких к \(a\), и \(\nabla \Phi (f(a))\ne 0\). Последнее условие означает, что соотношение действительно задаёт локальное ограничение на значения компонент \(f\), а не является вырожденным тождеством.

Теорема через постоянный ранг

Пусть в некоторой окрестности \(a\) матрица Якоби \(Df\) имеет постоянный ранг \(r\lt m\). Тогда после перенумерации компонент можно выбрать \(f_{1},\ldots ,f_{r}\) так, что они локально функционально независимы, а каждая из оставшихся компонент \(f_{r+1},\ldots ,f_{m}\) локально выражается через выбранные \(r\) компонент. Геометрически образ \(f\) лежит в окрестности \(f(a)\) на \(r\)-мерном подмногообразии пространства \(\mathbb{R}^{m}\). Поэтому локально существуют \(m-r\) независимых регулярных соотношений между \(f_{1},\ldots ,f_{m}\).1

Обратное направление

Если \(\Phi (f(x))=0\) в окрестности \(a\) и \(\nabla \Phi (f(a))\ne 0\), то по правилу цепочки

\[\sum _{i=1}^{m} \Phi _{y_{i}}(f(a))df_{i}(a)=0\].

Это нетривиальная линейная зависимость дифференциалов, поэтому \(\operatorname{rank} Df(a)\lt m\). В более общем случае \(k\) соотношений \(\Phi _{j}(f(x))=0\) с линейно независимыми градиентами \(\nabla \Phi _{j}(f(a))\) дают оценку \(\operatorname{rank} Df(a)\le m-k\).

Частный случай трёх функций

Для трёх функций трёх переменных частный случай удобно формулировать через якобиан \(J\). Функциональная зависимость влечёт \(J\equiv 0\) в окрестности. В обратную сторону, если \(J\equiv 0\) и ранг матрицы Якоби равен \(2\) с невырожденным минором второго порядка в рассматриваемой окрестности, теорема о неявной функции позволяет локально выразить одну функцию через две другие.2

Пример простыми словами

Функции \(f_{1}(x,y)=x+y\) и \(f_{2}(x,y)=(x+y)^{2}\) функционально зависимы: всегда \(f_{2}=f_{1}^{2}\). Соотношение \(\Phi (y_{1},y_{2})=y_{2}-y_{1}^{2}\) равно нулю на всех значениях пары \((f_{1},f_{2})\), а \(\nabla \Phi =(-2y_{1},1)\) нигде не обращается в нуль.

Частые ошибки
  • Равенство \(\det Df(a)=0\) в одной точке само по себе не доказывает локальную функциональную зависимость.
  • В регулярном соотношении \(\Phi (f)=0\) нужен ненулевой градиент \(\nabla \Phi (f(a))\).
  • Функциональная зависимость компонент не означает их линейную зависимость как функций.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Encyclopedia of Mathematics — Function Раздел Dependence of functions: функциональная зависимость, ранг матрицы Якоби и локальная зависимость функций при понижении ранга.
  2. 2 Стечкин С. Б. Лекции по математическому анализу. Том I Мехмат МГУ, 2011. §58.5 «Функциональная зависимость»: случай трёх функций трёх переменных, необходимость J≡0 и локальная достаточность при ранге 2 с использованием теоремы о неявной функции.