Теорема о неявной функции и дифференцирование неявно заданных функций

Пусть \(F:\mathbb{R}^{n}_{x}\times \mathbb{R}^{m}_{y}\to \mathbb{R}^{m}\) класса \(C^{1}\) около \((x_{0},y_{0}), F(x_{0},y_{0})=0\) и матрица \(D_{y}F(x_{0},y_{0})\) обратима. Тогда в некоторой окрестности \(x_{0}\) уравнение \(F(x,y)=0\) однозначно разрешается относительно \(y\) в виде \(y=\varphi (x)\), где \(\varphi \) класса \(C^{1}\). Производная задаётся формулой \(D\varphi (x)=-[D_{y}F(x,\varphi (x))]^{-1}D_{x}F(x,\varphi (x))\).¹

Что важно запомнить

Теорема о неявной функции является локальной.
Нужно условие \(F(x_{0},y_{0})=0\).
Ключевое условие регулярности — обратимость \(D_{y}F(x_{0},y_{0})\).
Решение \(y=\varphi (x)\) локально единственно.
Производную \(\varphi \) находят дифференцированием тождества \(F(x,\varphi (x))=0\).
В скалярном случае \(\varphi '\) получается делением на \(F_{y}\), поэтому требуется \(F_{y}\ne 0\).

Формулировка теоремы

Пусть \(F:\mathbb{R}^{n}_{x}\times \mathbb{R}^{m}_{y}\to \mathbb{R}^{m}\) непрерывно дифференцируемо в окрестности точки \((x_{0},y_{0})\), причём

\[F(x_{0},y_{0})=0\]

и линейное отображение \(D_{y}F(x_{0},y_{0}):\mathbb{R}^{m}\to \mathbb{R}^{m}\) обратимо. Тогда существуют окрестности \(U\) точки \(x_{0}\) и \(V\) точки \(y_{0}\) и единственная функция \(\varphi :U\to V\) класса \(C^{1}\) такая, что

\(\varphi (x_{0})=y_{0}\), \(F(x,\varphi (x))=0\)

для всех \(x\in U\). Более того, в \(U\) уравнение \(F(x,y)=0\) с \(y\in V\) эквивалентно равенству \(y=\varphi (x)\).¹

Дифференцирование неявной функции

Дифференцируем тождество \(F(x,\varphi (x))=0\). По правилу цепочки

\[D_{x}F+D_{y}F\cdot D\varphi =0\].

Так как \(D_{y}F\) обратимо,

\[D\varphi (x)=-[D_{y}F(x,\varphi (x))]^{-1}D_{x}F(x,\varphi (x))\].

Скалярный случай

Если \(F:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}\) и около \((x_{0},y_{0})\) переменная \(y\) является функцией \(x\), условие имеет вид \(F_{y}(x_{0},y_{0})\ne 0\). Тогда

\[y'(x)=-\frac{F_{x}(x,y(x))}{F_{y}(x,y(x))}\].

Связь с теоремой об обратной функции

Рассматривают отображение \(H(x,y)=(x,F(x,y))\). Его якобиан имеет блочную треугольную структуру, а блок \(D_{y}F\) обратим. Поэтому \(H\) локально обратимо. Это и позволяет представить множество решений \(F=0\) как график \(y=\varphi (x)\).¹

Пример простыми словами

Для \(F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1\) около точки \((0,1)\) имеем \(F_{y}=2y\), поэтому \(F_{y}(0,1)=2\ne 0\). Значит, рядом с этой точкой окружность задаётся функцией \(y=\sqrt{1-x^{2}}\). Неявное дифференцирование даёт \(y'=-\frac{x}{y}\).

Частые ошибки

Теорема разрешает уравнение относительно \(y\) только локально.
Базовая точка обязана удовлетворять \(F(x_{0},y_{0})=0\).
Проверяют обратимость квадратного блока \(D_{y}F\), а не определитель полного \(DF\).
В скалярной формуле деление на \(F_{y}\) допустимо только там, где \(F_{y}\ne 0\).

Другие вопросы

Источники

1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Второй семестр. Мехмат МГУ, 2018 г. Раздел «Теорема об обратной функции и теорема о неявной функции», следствие 8 и вывод формулы неявного дифференцирования.