Теорема об обратном отображении для функций нескольких переменных и нормированных пространств

В \(\mathbb{R}^{n}\) теорема об обратной функции утверждает следующее. Если \(f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}\) класса \(C^{1}\) около \(x_{0}\) и \(\det J_{f}(x_{0})\ne 0\), то \(f\) является локальным \(C^{1}\)-диффеоморфизмом около \(x_{0}\). Для обратного отображения \(J_{f^{-1}}(y)=[J_{f}(f^{-1}(y))]^{-1}\). В банаховых пространствах аналог верен для непрерывно дифференцируемого отображения, если производная Фреше в \(x_{0}\) имеет ограниченный обратный оператор.1, 2

Что важно запомнить
  • Невырожденный якобиан даёт локальную, а не глобальную обратимость.
  • В конечномерном случае условие записывается как \(\det J_{f}(x_{0})\ne 0\).
  • Производная обратного отображения является обратным оператором к производной исходного.
  • В бесконечномерной стандартной версии работают в банаховых пространствах.
  • Обратимость производной проверяется в базовой точке, после чего теорема даёт подходящие окрестности.

Конечномерная теорема

Пусть \(f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}\) непрерывно дифференцируема в окрестности \(x_{0}\) и \(y_{0}=f(x_{0})\). Если матрица Якоби \(J_{f}(x_{0})\) обратима, то существуют окрестности \(U\) точки \(x_{0}\) и \(V\) точки \(y_{0}\) такие, что ограничение \(f:U\to V\) является биекцией, а обратное отображение \(f^{-1}:V\to U\) непрерывно дифференцируемо.1

Условие обратимости матрицы равносильно \(\det J_{f}(x_{0})\ne 0\).

Производная обратного отображения

Из равенства \(f^{-1}\circ f=\operatorname{Id}\) и правила цепочки следует

\[D f^{-1}(y)=[D f(f^{-1}(y))]^{-1}\].

В частности, \(D f^{-1}(y_{0})=[D f(x_{0})]^{-1}\). В координатах это означает, что матрица Якоби обратного отображения является обратной матрицей к соответствующему якобиану прямого отображения.1

Версия для нормированных пространств

Для бесконечномерного случая стандартная теорема формулируется для банаховых пространств \(X\) и \(Y\). Пусть \(U\subseteq X\) открыто, \(F:U\to Y\) непрерывно дифференцируемо по Фреше, а \(D F(x_{0}):X\to Y\) является линейным изоморфизмом с ограниченным обратным оператором. Тогда \(F\) имеет локальное непрерывно дифференцируемое обратное отображение около \(x_{0}\).2

Требование банаховости обеспечивает полноту, которая используется в стандартном доказательстве через принцип сжимающих отображений.

Локальность результата

Теорема не утверждает глобальную взаимную однозначность. Даже если якобиан невырожден во всех точках, отображение может иметь разные точки с одинаковым образом.

Пример простыми словами

Отображение \(F(x,y)=(e^{x} \cos y,e^{x} \sin y)\) имеет \(\det J_{F}=e^{2x}\gt 0\) во всех точках. Поэтому оно локально обратимо всюду. Но глобально \(F\) не инъективно, поскольку замена \(y\) на \(y+2\pi \) не меняет значение.

Частые ошибки
  • Невырожденный якобиан даёт только локальную обратимость.
  • Обратимость отдельных частных производных не заменяет обратимость всего дифференциала.
  • Производная обратного отображения равна обратному оператору к производной исходного отображения.
  • Банахова версия требует полноты пространств и ограниченно обратимой производной.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Второй семестр. Мехмат МГУ, 2018 г. Раздел «Теорема об обратной функции и теорема о неявной функции», теорема 25 и формула для якобиана обратного отображения.
  2. 2 Encyclopedia of Mathematics — Inverse function; Fréchet derivative Банахова версия теоремы об обратной функции и условия для производной Фреше.