Лемма Морса

Лемма Морса описывает функцию около невырожденной критической точки. Если \(f\in C^{3}\) в окрестности точки \(a, \nabla f(a)=0\) и матрица Гессе \(H_{f}(a)\) невырожденна, то после локальной гладкой замены координат функция принимает точную квадратичную нормальную форму \(f(a)-u_{1}^{2}-\ldots -u_{q}^{2}+u_{q+1}^{2}+\ldots +u_{n}^{2}\). Число отрицательных квадратов \(q\) называется индексом Морса.¹

Что важно запомнить

Лемма Морса применяется к невырожденной критической точке.
Невырожденность означает \(\det H_{f}(a)\ne 0\).
После замены координат высшие нелинейные члены локально исчезают из нормальной формы.
Число отрицательных квадратов является индексом Морса.
Индекс \(0\) соответствует локальному минимуму, индекс \(n\) локальному максимуму.
При промежуточном индексе точка седловая.

Формулировка

Пусть \(f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\) три раза непрерывно дифференцируема в окрестности точки \(a\). Предположим, что \(a\) является критической точкой, то есть \(\nabla f(a)=0\), а матрица Гессе \(H_{f}(a)\) невырожденна. Тогда в некоторой окрестности \(a\) существует локальная гладкая замена координат \(u\), в которой

\[f=f(a)-u_{1}^{2}-\ldots -u_{q}^{2}+u_{q+1}^{2}+\ldots +u_{n}^{2}\].¹

Число \(q\) не зависит от выбранной нормализующей замены. Оно равно числу отрицательных квадратов в нормальной форме, или, эквивалентно, числу отрицательных собственных значений невырожденного гессиана с учётом кратности. Его называют индексом Морса.

Смысл леммы

Обычная формула Тейлора говорит, что около критической точки квадратичная часть является главным приближением. Лемма Морса утверждает существенно больше. Для невырожденной критической точки подходящая локальная замена координат превращает функцию в квадратичную форму точно, а не только с малым остатком.

Идея доказательства

После переноса \(a\) в начало координат и вычитания \(f(a)\) формула Тейлора с интегральным представлением позволяет записать \(f(x)\) как квадратичную форму с коэффициентами, гладко зависящими от \(x\). Невырожденность матрицы в нуле позволяет последовательно устранять смешанные члены гладкими заменами координат. Теорема об обратной функции гарантирует локальную обратимость этих замен.¹

Классификация критической точки

Если \(q=0\), имеем строгий локальный минимум. Если \(q=n\), имеем строгий локальный максимум. При \(0\lt q\lt n\) функция принимает значения как больше, так и меньше \(f(a)\), поэтому точка является седловой.

Пример простыми словами

Функция \(f(x,y)=x^{2}-y^{2}\) уже записана в нормальной форме Морса. В начале координат градиент равен нулю, гессиан невырожден, а индекс Морса равен \(1\). Точка \((0,0)\) является седловой.

Частые ошибки

Лемма Морса неприменима при вырожденном гессиане.
Нормальная форма после замены координат является точным локальным равенством, а не только квадратичным приближением.
Индекс Морса — число отрицательных квадратов, а не размерность пространства.
Наличие отрицательного квадрата исключает локальный минимум.

Другие вопросы

Источники

1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Второй семестр. Мехмат МГУ, 2018 г. Раздел «Формула Тейлора. Лемма Морса», теорема 40.