Если \(K\subseteq \mathbb{R}^{n}\) непусто, замкнуто и ограничено, то \(K\) компактно. Поэтому непрерывная функция \(f:K\to \mathbb{R}\) достигает на \(K\) глобального максимума и минимума. Для практического поиска исследуют внутренние критические точки, гладкие части границы и все особые граничные точки, а затем сравнивают достигаемые
Что важно запомнить
- Замкнутое и ограниченное множество в \(\mathbb{R}^{n}\) компактно.
- Непрерывная функция на непустом компакте достигает \(\min \) и \(\max \).
- Если \(f\) дифференцируема, внутренние точки экстремума ищут среди критических точек \(\nabla f=0\).
- На гладкой границе используют параметризацию или множители Лагранжа.
- Углы, пересечения и другие негладкие части границы проверяют отдельно.
- Глобальный ответ получают сравнением значений на всех множествах кандидатов.
Почему глобальные экстремумы существуют
Пусть \(K\subseteq \mathbb{R}^{n}\) непусто, замкнуто и ограничено. По критерию Гейне—Бореля \(K\) компактно. Если \(f\) непрерывна на \(K\), то по теореме Вейерштрасса существуют точки \(x_{\min},x_{\max}\in K\) такие, что
\(f(x_{\min})=\min _{K} f\),
Алгоритм поиска
Сначала исследуют критические точки во внутренности \(K\). Для дифференцируемой функции внутренний локальный экстремум может находиться только там, где \(\nabla f=0\). Затем исследуют границу. На гладкой части границы можно использовать параметризацию или метод множителей Лагранжа. Негладкие точки границы, углы и точки пересечения нескольких частей проверяют отдельно.
После исследования всех кандидатов или множеств кандидатов сравнивают достигаемые значения \(f\). Наибольшее из них является глобальным максимумом, а наименьшее глобальным минимумом.
Что меняется без условий теоремы Вейерштрасса
Если множество не компактно или функция не непрерывна, глобальный максимум или минимум может не достигаться. Поэтому проверка замкнутости, ограниченности и непрерывности является не формальностью, а первым шагом решения.
Пример простыми словами
Для \(f(x,y)=x+y\) на диске \(x^{2}+y^{2}\le 1\) внутренних критических точек нет. На окружности метод Лагранжа даёт точки \((\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})\) и \((-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})\). Поэтому \(\max f=\sqrt{2}\), а \(\min f=-\sqrt{2}\).
Частые ошибки
- Проверка только условия \(\nabla f=0\) пропускает граничные кандидаты.
- В \(\mathbb{R}^{n}\) замкнутости без ограниченности недостаточно для компактности.
- Углы, точки пересечения и другие негладкие участки границы исследуют отдельно.
- Локальный экстремум становится глобальным только после сравнения значений со всеми остальными кандидатами.
