Для каждого вещественного \(x>-1\) и каждого натурального \(n\in\mathbb N\) выполняется неравенство Бернулли \((1+x)^n\ge 1+nx\). Оно даёт линейную нижнюю оценку степени и доказывается математической индукцией. При \(n=1\) получается равенство. При \(n>1\) равенство сохраняется только при \(x=0\). Для остальных допустимых \(x\) неравенство
Что важно запомнить
- Условия: \(x>-1\) и \(n\in\mathbb N\).
- Формула: \((1+x)^n\ge 1+nx\).
- В индукционном переходе \(1+x>0\), поэтому на этот множитель можно умножать неравенство без изменения знака.
- После раскрытия скобок появляется неотрицательный член \(nx^2\).
- При \(n=1\) всегда получается равенство. При \(n>1\) равенство возможно только при \(x=0\).
Для каждого вещественного \(x>-1\) и каждого натурального \(n\in\mathbb N\) неравенство Бернулли имеет вид
Доказательство по индукции
При \(n=1\) обе части равны \(1+x\). Предположим, что для некоторого \(n\) уже установлено \((1+x)^n\ge 1+nx\). Поскольку \(x>-1\), имеем \(1+x>0\). Умножение на этот множитель сохраняет знак неравенства:
\[(1+x)^{n+1}\ge(1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2\ge1+(n+1)x.\]
Последний переход верен, потому что \(nx^2\ge0\). Тем самым индукционный шаг
Когда достигается равенство
При \(n=1\) равенство выполняется для любого \(x>-1\). Если \(n>1\), то при \(x=0\) обе части равны 1. Если \(x\ne0\), уже при \(n=2\) получаем строгое неравенство из-за \(x^2>0\). Дальше строгость сохраняется в индукционном переходе, потому что \(1+x>0\). Поэтому при \(n>1\) равенство возможно только при
Смысл формулы состоит в том, что степенное выражение \((1+x)^n\) снизу оценивается линейным выражением \(1+nx\). Такая оценка используется далее в анализе при работе с последовательностями и пределами.
Пример простыми словами
Например, при \(x=0{,}1\) и \(n=3\) левая часть равна \((1{,}1)^3=1{,}331\), а правая — \(1+3\cdot0{,}1=1{,}3\). Получаем \(1{,}331>1{,}3\). При \(x=0\) обе части равны 1.
Частые ошибки
- Заменять условие \(x>-1\) на другое, не оговорив изменение формулировки курса.
- Умножать индукционное неравенство на \(1+x\), не проверив его знак.
- Терять член \(nx^2\) при раскрытии скобок.
- Путать оценку Бернулли с точным разложением бинома Ньютона.
