Бином Ньютона

Для \(n\in\mathbb N\) формула бинома Ньютона имеет вид \[ (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k, \qquad \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}. \] Первое слагаемое равно \(a^n\), последнее — \(b^n\). Всего получается \(n+1\) слагаемых.¹

В конспекте курса используется равносильная индексация \(\binom{n}{k}a^k b^{n-k}\). Она задаёт ту же сумму после замены индекса \(k\mapsto n-k\). В индукционном доказательстве внутренние коэффициенты объединяются по тождеству Паскаля \(\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k}\).¹

Что важно запомнить

Формула: \((a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\).
\(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(0\le k\le n\).
В конспекте курса встречается равносильная запись \(\binom{n}{k}a^k b^{n-k}\).
Первое слагаемое равно \(a^n\), последнее — \(b^n\). Всего \(n+1\) слагаемых.
В каждом слагаемом сумма показателей степеней равна \(n\).
Тождество Паскаля: \(\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k}\).

Для \(n\in\mathbb N\) и любых \(a,b\) формула бинома Ньютона имеет вид

\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k a^{n-k}b^k,\qquad C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.\]

Обозначение \(C_n^k\), используемое в курсе, равнозначно записи \(\binom{n}{k}\). При \(k=0\) получаем \(a^n\), а при \(k=n\) получаем \(b^n\). Всего в разложении \(n+1\) слагаемых.¹

В конспекте курса та же формула записана как сумма членов \(C_n^k a^k b^{n-k}\). Это равносильная индексация: \(C_n^k=C_n^{n-k}\), поэтому после замены \(k\) на \(n-k\) одна запись переходит в другую. Поэтому порядок крайних слагаемых в конспекте не является ошибкой.¹

Доказательство по индукции

При \(n=1\) формула сводится к \(a+b=a+b\). Предположим, что приведённая запись справедлива для \(n\), и умножим её на \(a+b\). Крайнее слагаемое \(a^{n+1}\) возникает из \(a^n\) при умножении на \(a\). Крайнее слагаемое \(b^{n+1}\) возникает из \(b^n\) при умножении на \(b\).¹

Для \(1\le k\le n\) внутренний член \(a^{n+1-k}b^k\) возникает двумя способами. Умножение соответствующего слагаемого на \(a\) даёт коэффициент \(C_n^k\). Умножение предыдущего слагаемого на \(b\) даёт коэффициент \(C_n^{k-1}\). Их сумма по тождеству Паскаля равна \(C_{n+1}^k\):

\[C_n^{k-1}+C_n^k=C_{n+1}^k.\]

После группировки всех слагаемых получаем формулу бинома Ньютона для \(n+1\).¹

Как устроены слагаемые

В приведённой записи показатель \(a\) уменьшается от \(n\) до 0, а показатель \(b\) увеличивается от 0 до \(n\). В каждом члене сумма показателей равна \(n\). Биномиальный коэффициент показывает, сколько одинаковых произведений данного типа возникает при раскрытии \(n\) множителей \((a+b)\).¹

Пример простыми словами

При \(n=3\): \[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.\] Коэффициенты \(1,3,3,1\) равны \(\binom30,\binom31,\binom32,\binom33\).

Частые ошибки

Пропускать крайние слагаемые \(a^n\) и \(b^n\).
Ошибаться в показателях степеней: в каждом члене их сумма должна быть \(n\).
В индукционном доказательстве не объяснять объединение соседних коэффициентов по тождеству Паскаля.

Другие вопросы

Источники

1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 6–7.