Равномощные множества

Множества \(A\) и \(B\) называются равномощными, если существует биекция \(A\to B\). Обозначим это \(A\sim B\). Для конечных множеств равномощность соответствует равенству числа элементов. Для бесконечных множеств возможно, что собственное подмножество равномощно исходному множеству. Равномощность является отношением эквивалентности: рефлексивность обеспечивается тождественной биекцией, симметричность — обратной биекцией, транзитивность — композицией биекций.¹

Что важно запомнить

Равномощность определяется существованием биекции.
Удобное обозначение: \(A\sim B\).
Для конечного множества число элементов определяется через биекцию с \(A_n=\{1,\ldots,n\}\).
Бесконечное множество может быть равномощно собственному подмножеству.
Равномощность рефлексивна, симметрична и транзитивна.
Теорема Кантора—Бернштейна помогает устанавливать равномощность, но не является её определением.

Два множества \(A\) и \(B\) называют равномощными, если между ними существует биекция. Будем обозначать это \(A\sim B\). Биекция задаёт взаимно однозначное соответствие: каждый элемент одного множества сопоставлен ровно одному элементу другого и все элементы второго множества участвуют в соответствии.¹

Равномощность как отношение эквивалентности

Для любого \(A\) тождественное отображение \(A\to A\) является биекцией, поэтому \(A\sim A\). Если \(A\sim B\) посредством биекции \(f\), то существует обратная биекция \(f^{-1}:B\to A\), значит \(B\sim A\). Если \(A\sim B\) и \(B\sim C\), композиция соответствующих биекций даёт биекцию \(A\to C\). Следовательно, равномощность рефлексивна, симметрична и транзитивна.¹

Конечные и бесконечные множества

Положим \(A_n=\{1,\ldots,n\}\). Непустое множество \(A\) является конечным из \(n\) элементов, если оно равномощно \(A_n\). Множества \(A_n\) и \(A_m\) могут быть равномощны только при \(n=m\). Поэтому для конечных множеств равномощность согласуется с обычным числом элементов.¹

Для бесконечных множеств возникает характерное отличие. Всякое бесконечное подмножество \(B\subseteq\mathbb N\) равномощно \(\mathbb N\). В следующей теме такие множества будут называться счётными. Поэтому собственное подмножество бесконечного множества может иметь ту же мощность, что и исходное множество.¹

Определение равномощности при этом не меняется. Один из основных способов установить равномощность без явного построения биекции даёт теорема Кантора—Бернштейна.¹

Пример простыми словами

Пусть \(E=\{2,4,6,\ldots\}\) — множество положительных чётных чисел. Отображение \(n\mapsto2n\) является биекцией \(\mathbb N\to E\). Значит, \(E\sim\mathbb N\), хотя \(E\) является собственным подмножеством \(\mathbb N\).

Частые ошибки

Считать достаточной только инъекцию или только сюръекцию.
Путать равномощность с равенством самих множеств.
Переносить на бесконечные множества правило, что собственное подмножество обязательно имеет меньшую мощность.
Выдавать теорему Кантора—Бернштейна за определение равномощности.

Другие вопросы

Источники

1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 9.