Рациональные и иррациональные числа
Рациональные числа имеют вид \(\frac{p}{q}\), где \(p\in \mathbb{Z}, q\ne 0\). Иррациональные — вещественные числа, не имеющие такого представления, например \(\sqrt{2}\) и \(\pi \).1, 2 Вместе рациональные и иррациональные числа составляют \(\mathbb{R}\).
Геометрически каждому \(x\in \mathbb{R}\) соответствует единственная точка ориентированной числовой прямой и наоборот. Эта интерпретация связывает порядок и арифметику вещественных чисел с геометрией прямой.1
Модуль и расстояние
Модуль определяется формулой \(|x|=x\) при \(x\ge 0\) и \(|x|=-x\) при \(x\lt 0\). Он равен расстоянию от точки \(x\) до начала координат. Поэтому расстояние между \(x\) и \(y\) равно \(|x-y|\).1, 2 Из геометрического смысла следуют свойства \(|x|\ge 0\), \(|x|=0\) только при \(x=0\), \(|xy|=|x||y|\) и неравенство треугольника \(|x+y|\le |x|+|y|\).
Плотность рациональных и иррациональных чисел
Множество \(A\) называется плотным в \(\mathbb{R}\), если любой непустой интервал содержит точку \(A\). Рациональные числа плотны. Для \(a\lt b\) по архимедову свойству можно выбрать достаточно большое \(n\) так, чтобы \(\frac{1}{n}\lt b-a\), а затем целое \(m\) так, чтобы \(a\lt \frac{m}{n}\lt b\). Следовательно, между \(a\) и \(b\) есть рациональное число.1
Иррациональные числа тоже плотны. Интервал \((\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{b}{\sqrt{2}})\) содержит ненулевое рациональное \(r\). Тогда \(r\sqrt{2}\) иррационально и лежит между \(a\) и \(b\).1, 2
Плотность описывает расположение множества на прямой, а не его мощность. Рациональные числа плотны и счётны, а иррациональные плотны и несчётны.