Аксиома полноты вещественных чисел. Верхняя и нижняя грани множества, точные грани

Число \(M\) — верхняя грань \(A\subset \mathbb{R}\), если \(x\le M\) для всех \(x\in A; m\) — нижняя грань, если \(m\le x\) для всех \(x\in A\).^{1, 2} Точная верхняя грань \(\sup A\) — наименьшая из всех верхних граней, точная нижняя \(\inf A\) — наибольшая из нижних. Аксиома полноты утверждает: всякое непустое множество вещественных чисел, ограниченное сверху, имеет \(\sup \) в \(\mathbb{R}\); эквивалентно, всякое непустое ограниченное снизу множество имеет \(\inf \).^{1, 2}

Что важно запомнить

Верхняя грань не обязана принадлежать множеству.
Максимум — элемент множества; supremum может им не быть.
\(\sup A\) единственен, если существует.
Полнота отличает \(\mathbb{R}\) от \(\mathbb{Q}\): в \(\mathbb{Q}\) множество \(\{q\in \mathbb{Q}:q^{2}\lt 2\}\) не имеет рациональной точной верхней грани.¹
Из полноты выводятся принцип вложенных отрезков, Бореля—Лебега и другие фундаментальные теоремы существования.¹

Верхние и нижние грани

Пусть \(A\subset \mathbb{R}\) непусто. Если существует \(M\in \mathbb{R}\) такое, что \(x\le M\) для всех \(x\in A\), множество ограничено сверху, а \(M\) называется его верхней гранью. Аналогично задаются ограниченность снизу и нижняя грань.^{1, 2}

Точные грани

Точная верхняя грань \(s=\sup A\) характеризуется двумя условиями. Во-первых, \(x\le s\) для всех \(x\in A\). Во-вторых, для любого \(\varepsilon \gt 0\) найдётся \(x\in A\), для которого \(s-\varepsilon \lt x\le s\). Второе условие означает, что никакое число меньше \(s\) уже не является верхней гранью.¹ Для \(i=\inf A\) условия симметричны: \(i\le x\) для всех \(x\in A\) и для любого \(\varepsilon \gt 0\) найдётся \(x\in A\) с \(i\le x\lt i+\varepsilon \).

Если наибольший элемент \(\max A\) существует, то \(\sup A=\max A\). Обратное неверно. Для \(A=(0,1)\) имеем \(\sup A=1\), но \(1\notin A\), поэтому максимума нет.^{1, 2}

Аксиома полноты

Аксиома полноты \(\mathbb{R}\) утверждает существование \(\sup \) для каждого непустого множества, ограниченного сверху.¹ Из неё следует существование \(\inf \) для каждого непустого множества, ограниченного снизу: \(\inf A=-\sup (-A)\).

Полнота отличает \(\mathbb{R}\) от \(\mathbb{Q}\). Рассмотрим \(A=\{q\in \mathbb{Q}:q\gt 0, q^{2}\lt 2\}\). В \(\mathbb{R}\) точная верхняя грань этого множества равна \(\sqrt{2}\). Но \(\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}\), поэтому внутри \(\mathbb{Q}\) точной верхней грани нет.^{1, 2}

Из полноты выводятся принцип вложенных отрезков и другие фундаментальные теоремы существования в анализе.

Пример простыми словами

Для \(A=\{x\in \mathbb{R}:0\lt x\lt 2\}\) числа \(2, 3\) и \(100\) — верхние грани, но только \(2\) является точной верхней гранью. Максимума у \(A\) нет, потому что \(2\) не входит в множество.

Частые ошибки

Путать «верхнюю грань» и «точную верхнюю грань».
Считать, что \(\sup A\) обязательно принадлежит \(A\).
Считать любое ограниченное множество имеющим максимум и минимум.
Формулировать полноту без условий непустоты и ограниченности.
Не различать полноту \(\mathbb{R}\) и плотность \(\mathbb{Q}\).

Другие вопросы

Источники

1 Зорич В. А. Математический анализ Часть I. 10-е, исправленное изд. М.: МЦНМО, 2019 г. Гл. II, § 1.
2 Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа Т. 1. 6-е изд. М.: Юрайт, 2023 г.